Почему мы не используем уравнение Шрёдингера/стандартную КМ для описания фононов (или других квазичастиц)?

Нас только что учили о фононах на уроках физики твердого тела. В прошлом году мы сделали QM , а теперь начинаем и QFT .

Фононы — это возбуждения поля конденсированного вещества. Я думал, что мы будем использовать уравнение Шрёдингера (УШ), но нет. В программе его тоже нет. Я читал на этом сайте вопросы об использовании уравнения Шредингера для квантовых полей, и во многих ответах говорится, что SE описывает частицы без какого-либо спина, но фонон имеет нулевой спин. Почему нельзя использовать СЭ или нормальную (не относительность) КМ и для фононов и если я ошибаюсь и можно, то как?

SE для миллионов задействованных связанных осцилляторов чудовищно громоздкий. Вместо этого применяется явно превосходящее решение Дирака о сотворении-аннигиляции.
@CosmasZachos Ответы должны быть опубликованы как ответы. Кажется, у вас есть важная информация здесь
Можем, но это не очень практично. Хорошее упражнение — решить SE для цепочки атомов, соединенных пружинками.
@Биофизик. Я не знаю , что это важно. Я просто напоминаю ОП, якобы принимающему QFT, почему ему определенно сказали, что формулировка пространства Фока используется вместо невозможной бесконечности SE, кошмара для переупаковки и разделения в нормальные режимы. Если бы он только прочитал упражнение , он бы сразу понял суть , не так ли? Он утверждает, что прошел элементарный QM. В идеале, я пытаюсь увидеть, что он не смог увидеть и как, или убрать вопрос.
... в идеале, они сделали 2D-осциллятор и два связанных осциллятора во вступлении к QFT, и в этом случае смысл не требует пояснений ...

Ответы (2)

В физике конденсированного состояния или в любой теории поля, где число частиц не сохраняется (например, в физике элементарных частиц), уравнение Шредингера не работает. Уравнение Шредингера нуждается в условии, что числа частиц постоянны.

В стандартной квантовой механике, где мы используем уравнение Шрёдингера, мы имеем волновую функцию ψ ( Икс ) и мы сталкиваемся с термином р "=" ψ * ( Икс ) ψ ( Икс ) который представляет собой вероятность (плотность) нахождения частицы в точке Икс и когда мы интегрируем р во всем пространстве мы требуем, чтобы оно было равно единице, константе. То есть,

∫ ψ * ( Икс ) ψ ( Икс ) д Икс "=" 1
которое называется условием нормализации и является результатом требования, чтобы частица располагалась где-то в пространстве , что, очевидно, является справедливым предположением. То есть в КМ и, в более широком смысле, в уравнении Шрёдингера нам требуется это условие.

Затем мы переходим к теории, в которой числа частиц не сохраняются или где частицы уничтожаются или создаются, требование в приведенном выше уравнении больше не имеет смысла. Например, если частица внезапно аннигилирует или «исчезнет», вероятность найти ее непосредственно перед тем, как она исчезнет, ​​будет равна единице, а после этого — нулю. Таким образом, мы не можем использовать уравнение Шрёдингера для описания фононов, как и любую теорию поля, в которой частицы рождаются и уничтожаются.

ну… технически плотность вероятности р "=" ψ ( Икс , т ) * ψ ( Икс , т ) может варьироваться в зависимости от т является ψ ( Икс , т ) не является собственным состоянием ЧАС , так что тот факт, что р варьируется в т подразумевает сохранение или несохранение. Интеграл от р в пространстве (а не р себя) является сохраняющейся величиной.
@ZeroTheHero Вы абсолютно правы. Отредактировано! Спасибо.
Я мог что-то упустить, но нормализация волновой функции и SE — это разные вещи. Возможно, этот ответ мог бы лучше связать их, а не просто сказать, что мы сталкиваемся с ними вместе.
Спасибо Джозеф Х. Есть ли способ сформулировать уравнение Шредингера, чтобы описать фононы только с помощью теории относительности, но не учитывать изменение числа частиц?
Я думаю, что ответ Дэвидхай и комментарий Космоса Захоса верны, и этот ответ кажется неправильным. д 3 Икс интеграл неверен даже для систем с фиксированным числом частиц, если только число частиц не 1 и у него нет других свойств, таких как спин. Интеграл находится по фазовому пространству, какой бы формы оно ни было. Это может быть пространство Фока.
@benrg В стандартном QM нам не нужно рассматривать случаи, когда число частиц равно единице, но мы должны рассматривать случаи, когда числа частиц фиксированы .
@josephh Это д 3 н для н частицы, если предположить, что они не обладают другими свойствами, которые необходимо суммировать.
Не здесь это не так. «3» означает 3 измерения. Надо было использовать r вместо x. Но я отредактирую эту часть позже.
Редактирование на самом деле не решает основную проблему. Вы говорите, что система может «исчезнуть» из пространства состояний, что, если это правда, просто означает, что вы не включили в него все возможные состояния системы. В отредактированном ответе по-прежнему говорится «частица», и вместе с прежним д 3 Икс это заставляет меня думать, что вы представляли себе систему из одной частицы. Но вы также предположили, что количество частиц может измениться. Конечно, из этих предположений вы получаете противоречие. Вы заключаете, что уравнение Шрёдингера не работает. Правильный вывод состоит в том, что вам нужно правильно определить пространство состояний.

Я спорю здесь иначе, чем ответ @josephh. На мой взгляд, вы определенно можете применить уравнение Шредингера -- соотв. возможно, его версия с другим названием — также и для фононов, но вы должны расширить структуру.

В стандартной настройке вы основываете весь формализм на гильбертовом пространстве. ЧАС Н с определенным числом частиц Н , и, решая SE, вы ищете решение | Ψ Н ⟩ е ЧАС Н .

В случае фононов вместо этого вы должны использовать пространство Фока. Ф , которое представляет собой прямую сумму всех гильбертовых пространств с различным числом частиц Н . В этом пространстве можно определить физические процессы созидания и уничтожения в том смысле, что волновая функция исходит из подпространства ЧАС Н к ЧАС Н ± 1 .

Однако на практике это подробное описание обычно бывает слишком сложным, поэтому, как упоминалось в другом ответе, обычно используется матрица плотности. Он не заботится о микросостоянии вашей системы, а скорее дает вероятность (плотность) обнаружения частицы в точке пространства. Икс .

Между прочим: таким же образом я бы также сказал, что вы можете применить уравнение Шредингера к системе со спином ≠ 0 (даже если он называется по-другому). Идея похожа: например, для электронов вместо использования гильбертова пространства ЧАС , используется расширенное (гильбертово) пространство ЧАС × { ↑ , ↓ } , где ↑ , ↓ являются спиновыми состояниями частицы со спином 1/2, и снова применяет (форму) уравнения Шредингера с конкретным гамильтонианом. Конкретная форма гамильтониана в основном определяет вид уравнения и его название (например, уравнение Паули и т. д.).

Да, это разумное предложение, SE определенно можно использовать, просто требуется некоторая нестандартная тренировка.
Однажды Э. Ферми ответил, что КТП — это КМ с точки зрения чисел заполнения.
Спасибо, но это больше не будет стандартным уравнением Шредингера / qm, о котором я спрашивал.
@gemmima Я знаю, что в ответе говорится: «Вы должны расширить структуру», но это стандартный QM. Волновая функция определяется в фазовом пространстве, которое обычно не имеет формы р н , даже в QM бакалавриата.
@benrg: да, это стандартный QM, спасибо за указание. «Расширить структуру» имелось в виду относительно контекста ОП.
Почему мы не используем уравнение Шрёдингера/стандартную КМ для описания фононов (или других квазичастиц)?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v