Почему мы предпочитаем «механику Лагранжа и Гамильтона» механике Ньютона? [дубликат]

Одним из главных практических преимуществ является то, что он дает вам гораздо больше свободы в выборе системы координат , позволяя вам выбрать именно ту, которая наилучшим образом упростит уравнения движения для поставленной задачи. Это означает, что мы не просто ограничены использованием таких вещей, как Декарт-Ферма («декартовы»), цилиндрические или полярно-сферические поляры, но можем использовать практически произвольные криволинейные координаты.

Никогда не недооценивайте силу правильного выбора координат. Например, орбитальное движение лучше обрабатывается в полярных координатах, чем в декартовых — просто сравните уравнения даже для простого кругового орбитального движения:

$$x(t) = R \cos(\omega t),\ \ y(t) = R \sin(\omega t)$$

против

$$r(t) = R,\ \ \theta(t) = \omega t$$

Как вы думаете, с каким из них легче работать алгебраически? Какой из них дает вам лучшее представление о форме движения?

Или с такой системой, как маятник - в идеале вы хотите решить его движение не в декартовых координатах, а в терминах угла$\theta$, так как естественно ограничено движение по угловой траектории. По сути, он имеет одно измерение, а не два.

Самый общий подход, который позволяет вам иметь дело с такими вещами, например, с шариком, движущимся по спирали, как в некоторых старых детских игрушках (они все еще используют эти штуки?), является лагранжевой и гамильтоновой механикой. Причина, по которой вам это нужно, заключается в том, что хотя, скажем, в приведенном выше примере вы можете относительно просто получить поляру из декартова примера и наоборот, для этого вам фактически необходимо применить общее изменение координат ко всему пространству - и как бы вы сделали это необходимое изменение для чего-то столь же странного, как «винтовые координаты», которые вам понадобятся для детской игрушки?

Другое преимущество, однако, является теоретическим : вы можете утверждать, что лагранжева/гамильтонова механика является более фундаментальным способом решения физических проблем. В обычной ньютоновской механике мы имеем дело с силой. Но сила на самом деле не является столь фундаментальным понятием, как то, с которым имеют дело два других, — энергия . Энергия, импульс, момент количества движения — это три самые основные (наряду с пространством и временем) величины механики. Сила на самом деле является производной величиной - обратите внимание, что второй закон Ньютона действительно лучше всего задается как$\mathbf{F}_\mathrm{net} = \frac{d\mathbf{p}}{dt}$и не более "элементарного" (правда, педагогического )$\mathbf{F}_\mathrm{net} = m\mathbf{a}$. Механика L/H демонстрирует свою глубокую значимость при переходе от классической физики к современной физике... в частности, к квантовой механике, где основное управляющее уравнение использует гамильтониан .в нем это фактически квантовое обобщение того самого гамильтониана, который вы слышали сами знаете где... И даже ЛУЧШЕ, когда вы доберетесь до полностью зрелой великой теории квантовой теории поля, где вы, наконец, сможете начать понимать Стандартную модель. , наша лучшая теория физики на сегодняшний день, во всей своей красе и, таким образом, после вашей долгой опеки, бросьте взгляд на расположение границ физики, где вся работа выполняется крутыми людьми с крутыми вещами, о которых вы слышали в случайные журналы все время о пространстве, времени, квантовой гравитации и обо всем этом хорошем, только теперь, чтобы увидеть это глазами эксперта, лагранжиан также возвращается.

(Почему так? Почему бы до сих пор не использовать силу в КМ? Ну, если подумать, сила на самом деле «сохраняется» только в КМ, потому что бывают моменты, когда кажется, что энергия исчезает, например, трение, и, таким образом, описание в терминах сил при решении реальных проблем чаще оказывается полезным, чем с точки зрения энергии.Но, как мы знаем, такие силы, как трение, которые, по-видимому, не сохраняют энергию, на самом деле являются просто макроскопическими проявлениями консервативных сил, действующих в микроскопическом масштабе (например, трение, преобразующее кинетическую энергию в тепло и звук.) КМ — это теория микроскопического масштаба , и, таким образом, вы должны быть в состоянии объяснить все энергии в описании, и действительно можете.)