Связь между синглетными, триплетными двухэлектронными состояниями и определителем Слейтера

Я запутался в ряде вещей, касающихся двухэлектронных систем и спина. Вот (возможно, слишком длинная) экспозиция, если хотите, переходите к « проблеме »:

Рассмотрим атом гелия на упрощенной картине, где мы пренебрегаем электрон-электронным отталкиванием, и пусть$\psi_{nlm}$— обычные пространственно-волновые функции, и пусть$\chi_{\uparrow}$,$\chi_{\downarrow}$обозначают одновременные собственные функции$\mathbf{S}^2$и$S_z$. Затем запишите одноэлектронные волновые функции как

$$\phi(i) = \psi(\mathbf{r}_i) \chi(s_i), \qquad i \in \{1,2\}$$ где $i$является сокращением от пространственных и спиновых координат $(\mathbf{r}_i, s_i)$. Учитывая две одноэлектронные волновые функции $\phi_1$, $\phi_2$мы всегда можем сформировать соответствующую антисимметричную двухэлектронную волновую функцию с детерминантом Слейтера: $$\phi(1,2) = \frac{1}{\sqrt{2}} \det \begin{bmatrix} \phi_1(1) & \phi_1(2) \\ \phi_2(1) & \phi_2(2) \end{bmatrix}.$$

Теперь у меня возникли проблемы с построением собственных состояний гелия (на этой упрощенной картинке). Следуя Гриффитсу, мы предполагаем, что один электрон находится в «основном состоянии» (т.е. имеет пространственно-волновую функцию$\psi_{100}$), в то время как другой электрон находится в каком-то «состоянии»$\psi_{nlm}$.

В случае, когда оба электрона имеют пространственно-волновую функцию$\psi_{100}$тогда мы позволим

$$\phi_1 = \psi_{100} \chi_{\uparrow}, \qquad \phi_2 = \psi_{100} \chi_{\downarrow}$$ и, используя определитель Слейтера, получаем $$\phi(1,2) = \psi_{100}(\mathbf{r}_1)\psi_{100}(\mathbf{r}_2) \left[\chi_{\uparrow}(s_1)\chi_{\downarrow}(s_2) - \chi_{\downarrow}(s_1)\chi_{\uparrow}(s_2) \right].$$ Мы признаем спиновую часть «синглетом», с полным спином $0$. Мы также замечаем, что это единственная возможная волновая функция (с точностью до полной фазы), когда оба электрона находятся в $\psi_{100}$state". Я чувствую, что понимаю этот случай, но я включил его, чтобы убедиться, что мы на одной странице.

Задача (tl;dr): Рассмотрим теперь случай, когда один электрон находится в$\psi_{100}$а другой находится в каком-то другом "состоянии", например$\psi_{200}$. Гриффитс говорит мне, что мы находим возможные двухэлектронные состояния, строя симметричную и антисимметричную пространственно-волновые функции

$$\psi_{\text{S}}(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2) = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(\psi_{100}(\mathbf{r}_1)\psi_{200}(\mathbf{r}_2) + \psi_{200}(\mathbf{r}_1)\psi_{100}(\mathbf{r}_2) \right),$$ $$\psi_{\text{A}}(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2) = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(\psi_{100}(\mathbf{r}_1)\psi_{200}(\mathbf{r}_2) - \psi_{200}(\mathbf{r}_1)\psi_{100}(\mathbf{r}_2) \right)$$ и связывая их с антисимметричной и антисимметричной спин-функциями соответственно: $$\phi(1,2) = \psi_{\text{S}}(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2)\left[\chi_{\uparrow}(s_1)\chi_{\downarrow}(s_2) - \chi_{\downarrow}(s_1)\chi_{\uparrow}(s_2) \right], \qquad \text{(singlet)}$$ $$\phi(1,2) = \begin{cases} \psi_{\text{A}}(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2)\chi_{\uparrow}(s_1)\chi_{\uparrow}(s_2) & \\ \psi_{\text{A}}(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2)\left[\chi_{\uparrow}(s_1)\chi_{\downarrow}(s_2) + \chi_{\downarrow}(s_1)\chi_{\uparrow}(s_2) \right] & \text{(triplet)} \\ \psi_{\text{A}}(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2)\chi_{\downarrow}(s_1)\chi_{\downarrow}(s_2) & \end{cases}$$

Я понимаю, почему это действительные состояния, но мне кажется, что это не все возможные состояния. Например, позволяя

$$\phi_1 = \psi_{100} \chi_{\uparrow}, \qquad \phi_2 = \psi_{200} \chi_{\downarrow}$$ затем, используя определитель Слейтера, мы получаем другую антисимметричную волновую функцию с полным спином $0$: $$\phi(1,2) = \frac{1}{\sqrt{2}} \left[\psi_{100}(\mathbf{r}_1)\psi_{200}(\mathbf{r}_2)\chi_{\uparrow}(s_1)\chi_{\downarrow}(s_2) - \psi_{200}(\mathbf{r}_1)\psi_{100}(\mathbf{r}_2)\chi_{\downarrow}(s_1)\chi_{\uparrow}(s_2) \right] .$$ Как эти два подхода сочетаются друг с другом? Можно ли сформировать эту последнюю волновую функцию, взяв линейные комбинации синглетных/триплетных волновых функций? Можете ли вы сформировать синглетные/триплетные волновые функции с детерминантами Слейтера? Кроме того, есть ли причина предпочесть один подход другому?