Почему сложно расширить шахматную доску Фейнмана до более чем 1+1 измерений?

Уважаемый mtrencseni, на той самой странице, которую вы процитировали, есть ответ в следующих предложениях:

Существуют два различных класса расширений: те, которые работают с фиксированной базовой решеткой (19, 20), и те, которые включают двумерный случай в более высокое измерение (21, 22). Преимущество первого состоит в том, что сумма по путям ближе к нерелятивистскому случаю, однако теряется простая картина единой независимой от направления скорости света. В последних расширениях свойство фиксированной скорости поддерживается за счет переменных направлений на каждом шаге.

Совершенно очевидно, что нет причин, по которым подобные математические диковинки должны существовать в более высоких измерениях. Тем не менее люди пытались найти счетчик более высокого измерения в двух разных конкурирующих направлениях. Оба они остаются крайне неубедительными, мягко говоря.

Наиболее очевидная причина, по которой шахматная доска Фейнмана сложна в более высоких измерениях, заключается в том, что уравнение Дирака имеет много компонентов, а отдельные спинорные компоненты не могут быть связаны с какими-либо простыми дискретными свойствами решетки, такими как направление, в котором движется частица на первом шаге. Тот факт, что геометрия направления на линии настолько проста, является причиной того, что шахматная доска Фейнмана в измерениях 1 + 1 и только в измерениях 1 + 1 может использоваться в качестве устройства для учета компонентов спиральности и т. д.

Кроме того, многомерные решетки не включают линии, которые движутся «точно со скоростью света» (45 градусов) в общих направлениях. Это также отличается от измерений 1+1, где юго-западное и юго-восточное направления являются единственными двумя светоподобными направлениями. Этот простой факт затрудняет получение релятивистской теории от частицы, движущейся по решетке.

На моем сайте есть интересная статья на эту тему, написанная на более низком уровне, чем некоторые .

Он отмечает, что есть проблемы с частицей в 3 измерениях, которая, по-видимому, является сверхсветовой со скоростью не менее$\sqrt{3}\;c$.

В 1+1 мерном пространстве-времени вы можете разделить оператор$d^{2}/dt^{2} - d^{2}/dx^{2}$очень простым способом в продукт:$(d/dt - d/dx)(d/dt + d/dx)$. Это невозможно в более высоких измерениях.