Почему утверждение Карнапа о том, что «Цезарь — простое число», бессмысленно?

В разделах, предшествующих этому утверждению, Карнап обсуждает первый класс того, что он называет «псевдоутверждениями», которые представляют собой предложения, характеризующиеся наличием в них некоторого «бессмысленного» слова. Предложение «kjdfho великий» является псевдоутверждением первого класса, потому что оно включает предположительно бессмысленное выражение «kjdfho». Затем, в § 4, Карнап обращает внимание на второй класс «псевдоутверждений», который включает предложения, хотя и грамматически значимые, но все же неприемлемые. В качестве примеров он рассматривает следующие неграмматические предложения (1) и грамматические предложения (2):

(1) Цезарь есть и;
(2) Цезарь — простое число.

Проблема с (1) очевидна: это неправильно построенное (или грамматически) предложение. Здесь предполагается, что «и» является оператором над предложениями, поэтому его размещение в (1) в позиции NP выводит нас из набора грамматических предложений английского языка. С логико-семантической точки зрения (1) столь же неграмматично, как и вышеупомянутое предложение «kjdfho», и поэтому принадлежит к первому классу «псевдопредложений». Проблема с (2), однако, не в том, что он неправильно сформирован. «Цезарь» — грамматически приемлемое имя человека, а «простое число» — приемлемое предикатное выражение. Тем не менее Карнап утверждает, что (2) бессмысленно, и дает следующее объяснение:

«Простое число» — это предикат чисел; это не может быть ни подтверждено, ни опровергнуто человеком (с. 68).

Хотя он не указывает это явно в этих терминах, идея здесь в том, что, хотя предложение (2) является правильно построенным предложением, оно не является хорошо типизированным .один. Если бы мы работали с формализованным фрагментом английского языка, мы бы определили алфавит обычных латинских букв, а затем задали бы грамматические правила для создания подмножества Wff правильно построенных предложений английского языка. Среди этих предложений мы могли найти (2) и не найти (1). Конечно, все эти вопросы зависели бы от выразительной силы нашего формализованного фрагмента. Но предположим, что оно достаточно мощное, чтобы предоставить (2) статус правильно построенного предложения. Затем мы бы указали дополнительный слой правил типизации для генерации подмножества Wtf ⊆ Wff хорошо типизированных предложений нашего фрагмента. Смысл правил типизации состоит в том, чтобы гарантировать, что функциональные выражения нашего языка, такие как предикатные выражения («является простым») и функторы («отец»этих функциональных выражений. Чтобы увидеть, почему (2) плохо типизировано, давайте посмотрим на область определения слова «простой»:

(T) простое число: Nat → Bool.

Функция prime , которая является референтом «является простым» или «является простым числом», определена только для натуральных чисел и по известному правилу переводит натуральные числа в истинные или ложные в зависимости от их простоты. Рассмотрим выражение:

(3) π — простое число.

Является ли (3) хорошо типизированным? Поскольку π не является натуральным числом, (3) не является типизированным выражением. Это может быть правильно сформированное числовое выражение в соответствии с правилом, которое гласит, что унарная числовая функция (например, простое число), примененная к числовому выражению (например, π), дает другое числовое выражение (например, 3). Но, тем не менее, он не является хорошо типизированным, поскольку область определения простого числа не включает в себя ненатуральные числа (см. T выше).

После осознания того, что (3) плохо типизировано, неправильная типизация (2) не должна удивлять. «Цезарь» не является числовым выражением, так что это определенно не выражение, имеющее значение в натуральных числах. Теперь это причина считать (2) не очень хорошо типизированным. Общий вопрос, который здесь возникает, заключается в том, следует ли нам рассматривать не очень хорошо типизированные предложения как «псевдопредложения», как это делает здесь Карнап. Типовые ограничения могут быть полезным средством для проверки правильности всех видов математических конструкций, так что правильность типизации, безусловно, невероятно полезное понятие, но должно ли оно быть основанием для разделения множества правильно построенных предложений данного языка на приемлемые? а неприемлемые могут быть интересной темой для другого обсуждения.

                                                                     использованная литература

Айер, AJ (1959) логический позитивизм .
Карнап, Р. (1953) «Устранение метафизики посредством логического анализа языка», Айер, 1959.
Камминг, С. (2014) λ – исчисление и теория типов , курс лекций (зима), Калифорнийский университет в Лос-Анджелесе.

Ваше второе предложение может быть неверным, в зависимости от того, какую интерпретацию вы примете. Если вы имеете в виду «множество простых чисел и множество [не простых] чисел», это неверно, потому что Цезарь не является числом и, следовательно, не является частью ни одного из этих множеств. Если вы имеете в виду «набор простых чисел и набор не-[простых чисел]», это не имеет смысла, потому что на самом деле невозможно иметь набор всего (или набор всего, кроме простых чисел).

В анализе таких утверждений, который я видел, использовался другой пример:

(1) The present king of France is bald.

Это было поднято в контексте желания формализовать значение утверждений и применить к ним формальную логику.

Фреге и многие математики после него рассматривают утверждения как предикаты: в контексте интерпретации предполагается, что они либо истинны, либо ложны.

Утверждение (1) определенно неверно, поэтому оно должно быть ложным, верно? А отрицание ложного утверждения верно, верно? Посмотрим:

(2) The present king of France is not bald.

Это верно не больше, чем утверждение (1), и по той же причине: оба утверждения подразумевают истинность другого (а именно, что существует нынешний король Франции), и именно это подразумеваемое утверждение ложно. Следовательно, обычная логика предикатов не работает применительно к таким утверждениям: они не просто ложны, они «даже не ошибочны», как и их отрицания.

То же самое можно сказать и о примере Карнапа: ни один из

(3) Caesar is a prime number.
(4) Caesar is not a prime number.

истинно, и это потому, что утверждение, истинность которого они оба подразумевают (а именно, что Цезарь есть число), ложно.

Почему утверждение Карнапа о том, что «Цезарь — простое число», бессмысленно?

Во-первых, ясно, что утверждение «Цезарь — простое число» просто ложно, а не бессмысленно. И именно потому, что оно не бессмысленно, мы можем сказать, что оно ложно.

Если для кого-то это неочевидно, то для того, чтобы убедиться, что это ложно, достаточно предположить, что «Цезарь» относится к хорошо известному римскому императору и что, следовательно, Цезарь был человеком, а простое число — своего рода количество. Я думаю, мы можем с уверенностью сказать, что ни один человек не является числом.

Очевидно, что это утверждение не просто ложно. Это также сбивает с толку. Любой, кто действительно утверждает это утверждение, был бы немедленно заподозрен в некотором невменяемом состоянии.

Почему Карнап утверждал, что это бессмысленно? Ну, это вопрос к психологическому форуму, а не к философскому. Самое близкое объяснение, которое я мог придумать, состоит в том, что Карнап был логическим позитивистом, настаивая на том, что естественные языки имеют много несовершенств и поэтому логически вводят в заблуждение. Точно так же напрасно Бертран Рассел утверждал, например, что в предложении « автор Уэверли был мужчиной » выражение « автор Уэверли » не является подлежащим, на что все грамматики подняли бы бровь.

Очевидно, утверждение, что Цезарь — простое число, является категориальной ошибкой, но категориальные ошибки не делают утверждения, виновные в них, бессмысленными.

Тем не менее, то, что утверждение просто ложно, а не бессмысленно, является стандартной грамматической точкой зрения на предмет:

В соответствии с нашими действительными грамматическими стандартами мы считаем «Цезарь — простое число» не бессмысленным, а ложным. —— Стивен К. Маклеод, Модальность и антиметафизика (2018)

И каждый, у кого есть немного здравого смысла, может судить сам.

Думаю, я должен сказать что-то о «принятом ответе» после комментария Филипа Клёкинга.

Во-первых, да, Филип, я прочитал принятый ответ, и я прочитал его, прежде чем писать свой собственный ответ, я даже полагался на него для получения информации о позиции Карнапа.

И написал свой ответ именно потому, что принятый ответ не отвечал на вопрос.

Итак, принятый ответ гласит:

Тем не менее Карнап утверждает, что (2) бессмысленно, и дает следующее объяснение: «Простое число» — это предикат чисел; это не может быть ни подтверждено, ни опровергнуто человеком (с. 68).

Что ж, вполне может быть, что сказал Карнап, но это не объясняет, почему он поверил тому, что сказал. Опять же, это вопрос для психологического форума.

Однако собственное оправдание Карнапа явно неверно. Сказать, что « простое число» есть предикат числа », было бы вопиющей ошибкой. Конечно, это может быть и предназначено для применения к числам, но это семантический факт, в то время как лингвистический и синтаксический факт, что его можно использовать для других вещей, хотя бы ложно. Позвольте мне здесь повторить то, что думают грамматики:

В соответствии с нашими действительными грамматическими стандартами мы считаем «Цезарь — простое число» не бессмысленным, а ложным. —— Стивен К. Маклеод, Модальность и антиметафизика (2018)

Они думают так, потому что понятие предиката является одновременно функциональным и синтаксическим понятием, а не семантическим. Предикатом является то, что в соответствии с синтаксисом находится в синтаксическом положении для определения синтаксического подлежащего, и Карнап не имеет права декретировать, как он делает здесь, что то, что здесь явно предназначено для определения подлежащего, не является предикатом.

Во-вторых, хотя «простое число», очевидно, обычно используется для квалификации чисел, так же, как, например, «свободная страна» обычно используется для квалификации стран, использование «простого числа» для квалификации Юлия Цезаря или чего-либо, кроме числа, не бессмысленно. Это просто приведет к неизбежно ложному утверждению.

Точно так же предложение «Летучие мыши лучше птиц», безусловно, имеет смысл, хотя оно будет считаться истинным или ложным в зависимости от мнения человека. Тем не менее, по мнению Карнапа, «лучшие птицы» не могут осмысленно использоваться для квалификации летучих мышей, потому что летучие мыши не являются птицами и, следовательно, не лучшими птицами.

Теперь, возможно, Карнап дает в другом месте лучшее обоснование, но я воспринял «принятый» ответ как дающий полную картину позиции Карнапа. Итак, да, я согласен, что предложение является ошибкой категории, но люди, подобные Карнапу, которые думают, что ошибка категории делает предложения бессмысленными, просто ошибаются. И у них, конечно же, нет никаких аргументов в поддержку своей точки зрения, кроме их невежества в том, как работает логика.

Следствием этого является то, что принятый ответ буквально не отвечает на вопрос, поэтому я написал свой собственный ответ. Умеренность г-на Филипа Клекинга предвзята из-за его собственных взглядов на математическую логику и связанные с ней вопросы, взгляды, которые, как и взгляды Бертрана Рассела и Рудольфа Карнапа, основаны на их незнании собственной логики, действительно работают. Вот почему мои совершенно законные вопросы и ответы обычно отклоняются и закрываются. Вы должны найти время, чтобы изучить свое положение.

«Простое число» — математический термин. В математике термин, состоящий из двух слов, обычно является не словом с модификатором, а одним термином, выраженным с помощью двух слов. «Простое число» — это не число со свойством быть простым, это один единственный термин.

Следовательно, вещи, которые не являются числами, теоретически могут быть простыми числами или не простыми числами, и на практике все они не являются простыми числами. «Простое число» — это не «число, обладающее свойством быть простым», а «объект, обладающий свойством быть простым числом».