Статистика Больцмана и матрица плотности для простой системы со спином 1/2. (ЯМР)

У меня есть система со спином 1/2 частиц (протонов) в магнитном поле. Эффект Зеемана приводит к двум уровням энергии (вращение вверх, вращение вниз). Таким образом, у меня есть состояние

$$\left|\Psi\right> = a\left|\uparrow\right> + b\left|\downarrow\right>$$

При комнатной температуре вероятность найти спин в одном из двух состояний определяется распределением Больцмана (высокотемпературный предел Ферми). Следовательно, вероятности определяются выражением$p_\uparrow = e^{-E_\uparrow/k_B T}$и$p_\downarrow = e^{-E_\downarrow/k_B T}$

Теперь мой вопрос: как$a,b$относится к$p_\uparrow$и$p_\downarrow$. Я слышал, что вам просто нужно использовать матрицы плотности, чтобы понять это, но на самом деле я этого не понимаю...