Подсчет количества степеней свободы в системе со связями

Следуя подсчету степеней свободы при наличии ограничений , мы знаем, что будет N-2M-S степеней свободы, если у нас есть M ограничений 1-го класса и S ограничений 2-го класса в N-мерном фазовом пространстве.

Я не знаю, как мы пришли к такому подсчету. Почему каждое ограничение 1-го класса устраняет 2 степени свободы, а каждое ограничение 2-го класса устраняет 1 степень свободы?

Спасибо.

Ответы (1)

Ограничение первого рода устраняет 2 степени свободы, потому что оно, с одной стороны, связывает п я и д я с уравнением, а с другой стороны порождает однопараметрическую группу калибровочных преобразований на поверхности ограничений, где все состояния, лежащие на одной орбите, должны быть физически идентифицированы. Таким образом, вы теряете одну степень свободы из-за самого уравнения ограничений и еще одну степень свободы из-за сгенерированного калибровочного преобразования.

Ограничение второго рода не порождает калибровочное преобразование, порожденное им преобразование не имеет физического смысла, поскольку не сохраняет поверхность ограничения — оно отображает состояние на поверхности в состояние вне поверхности. Таким образом, для ограничения второго класса у вас есть только одна степень свободы, которую оно устраняет, просто будучи отношением между координатами.

Спасибо за ваш ответ, и, кажется, он имеет смысл. У меня есть еще один вопрос. В случае безмассового поля со спином 1 у нас есть два первоклассных ограничения: Π 0 "=" 0 и ∂ я Π я "=" 0 без источника. Калибровочное преобразование, связанное с первым, действующее на А 0 является дельта А 0 ( Икс ) "=" ∫ ϵ ( у ) [ Π 0 ( у ) , А 0 ( Икс ) ] "=" ϵ ( Икс ) . На самом деле это не похоже на обычную калибровочную симметрию E&M. Что не так с моим аргументом? @ACuriousMind
@john: Это действительно немного тонко. Обычное калибровочное преобразование возникает только как остаточная калибровочная свобода после наложения закона Гаусса ∂ я π я "=" 0 . Причина, по которой вы должны применять закон Гаусса, но не π 0 "=" 0 состоит в том, что закон Гаусса является вторичным ограничением , т.е. он необходим для согласованности другого ограничения с уравнениями движения, а лагранжевы калибровочные преобразования обычно возникают только из первичных ограничений первого рода .
Я не понимаю вашего последнего утверждения: калибровочное преобразование Лагранжа возникает только из первичных ограничений первого класса. В случае E&M основным ограничением первого класса является Π 0 "=" 0 , что не порождает желаемого калибровочного преобразования. Я предполагаю, что калибровочное преобразование, связанное с ∂ я Π я "=" 0 выглядит как дельта А мю "=" дельта мю я ∂ я ϵ . Здесь, А 0 вообще не трансформируется. Вы видите мое замешательство? @ACuriousMind
@john: О, извините, это действительно было неточное утверждение. Это общий, точный факт: калибровочные симметрии обычного лагранжевого действия являются остаточными калибровочными преобразованиями, когда наложены все вторичные ограничения. Подробный вывод этого факта см., например, в главе 3 книги Хенно/Тейтельбойма «Квантование калибровочных систем» .
@john: Для EM вы должны рассмотреть комбинированное преобразование обоих ограничений на расширенное действие , а затем найти остаточные преобразования, которые сохраняют вторичные ограничения в том смысле, что они не преобразуют связанные множители Лагранжа.
Хорошо, я читаю ссылку, которую вы упомянули. @ACuriousMind
@john: Между прочим, случай EM подробно рассматривается в главе 19.
Теперь я вижу смысл. Это очень тонко, так сложно понять. Спасибо за ваш ответ @ACuriousMind
@john: Хотели бы вы, чтобы я включил в ответ явное обсуждение EM? В противном случае, если вы считаете, что мой ответ отвечает на ваш вопрос, вы можете нажать на галочку слева, чтобы показать, что это достаточный ответ на ваш вопрос, чтобы он не отображался на сайте как «без ответа».
Я думаю, это нормально! Я нажал на галочку! Еще раз спасибо. @ACuriousMind
Подсчет количества степеней свободы в системе со связями
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v