Дискретизация действия для интеграла Фейнмана по траекториям

Question

Дискретизация действия для интеграла Фейнмана по траекториям

Джон Думанчич

Я пытаюсь понять, как вычислять интегралы по путям, учитывая лагранжиан. Я понимаю, как это делается для свободной частицы, но меня смущают другие действия. У меня проблемы с пониманием того, как разбить действие на подинтервалы. Я понимаю, как это сделать для свободной частицы:

\begin{matrix} (1) & С "=" \frac{м}{2} \frac{({Икс}_{б} - {Икс}_{а})^{2}}{т_{б} - т_{а}} \to \frac{м}{2} \sum_{я "=" 1}^{Н} \frac{({Икс}_{я + 1} - {Икс}_{я})^{2}}{ϵ} \end{matrix}

$S=\frac{m}{2}\frac{(x_b-x_a)^2}{t_b-t_a}\to\frac{m}{2}\sum_{i=1}^N\frac{(x_{i+1}-x_i)^2}{\epsilon}\tag{1}$ где,

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} ϵ & "=" т_{я + 1} - т_{я} \\ Н ϵ & "=" т_{б} - т_{а} \\ т_{0} & "=" т_{а} \\ т_{Н} & "=" т_{б} \\ {Икс}_{0} & "=" {Икс}_{а} \\ {Икс}_{Н} & "=" {Икс}_{б} \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} \epsilon & = t_{i+1}-t_i \\ N\epsilon & = t_b - t_a \\ t_0 &= t_a \\ t_N & = t_b \\ x_0 &= x_a \\ x_N &= x_b \end{align}\tag{2}$ Однако у меня возникли проблемы с пониманием того, как это сделать для более общих случаев. Например, классическое действие гармонического осциллятора

\begin{matrix} (3) & С "=" \frac{м ю}{2 грех ю Т} (({Икс}_{1}^{2} + {Икс}_{2}^{2}) потому что ю Т - 2 {Икс}_{1} {Икс}_{2}) . \end{matrix}

$S=\frac{m\omega}{2\sin\omega T}\left(\left(x_1^2+x_2^2\right)\cos\omega T -2x_1x_2\right).\tag{3}$ Я попытался сделать это дискретным следующим образом:

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} С "=" & \frac{м ю}{2 грех ю Т} (({Икс}_{1}^{2} + {Икс}_{2}^{2}) потому что ю Т - 2 {Икс}_{1} {Икс}_{2}) \\ \to & \frac{м ю}{2 грех ю ϵ} \sum_{я "=" 1}^{Н} (({Икс}_{я + 1}^{2} + {Икс}_{я}^{2}) потому что ю ϵ - 2 {Икс}_{я + 1} {Икс}_{я}) . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align}S=&\frac{m\omega}{2\sin\omega T}\left(\left(x_1^2+x_2^2\right)\cos\omega T -2x_1x_2\right)\cr \to&\frac{m\omega}{2\sin\omega\epsilon}\sum_{i=1}^N\left(\left(x_{i+1}^2+x^2_i\right)\cos\omega\epsilon-2x_{i+1}x_i\right).\end{align}\tag{4}$ Таким образом, интеграл по путям становится

\begin{aligned} U ({Икс}_{б}, т_{б}, {Икс}_{а}, т_{а}) "=" & \underset{ϵ \to 0}{лим} \frac{1}{А} \int \dots \iint опыт (\frac{я}{ℏ} \frac{м ю}{2 грех ю ϵ} \sum_{я "=" 1}^{Н} (({Икс}_{я + 1}^{2} + {Икс}_{я}^{2}) потому что ю ϵ - 2 {Икс}_{я + 1} {Икс}_{я})) \\ (5) & \times \frac{д {Икс}_{1}}{А} \frac{д {Икс}_{2}}{А} \dots \frac{д {Икс}_{Н - 1}}{А} \end{aligned}

$\begin{align}U(x_b,t_b,x_a,t_a)=&\lim_{\epsilon\to 0}\frac{1}{A}\int\cdots\iint\exp\left(\frac{i}{\hbar}\frac{m\omega}{2\sin\omega\epsilon}\sum_{i=1}^N\left(\left(x_{i+1}^2+x^2_i\right)\cos\omega\epsilon-2x_{i+1}x_i\right)\right)\cr &\times\frac{\mathrm{d}x_1}{A}\frac{\mathrm{d}x_2}{A}\cdots\frac{\mathrm{d}x_{N-1}}{A}\tag{5}\end{align}$

\begin{matrix} (6) & А "=" {(\frac{2 π я ℏ ϵ}{м})}^{\frac{1}{2}} . \end{matrix}

$A=\left(\frac{2\pi i\hbar\epsilon}{m}\right)^{\frac{1}{2}}.\tag{6}$

Однако, когда я вычислил интеграл для $x_1$ , у меня получилось следующее:

\begin{matrix} (7) & \sqrt{\frac{м грех ю ϵ}{2 я π ℏ 2 ϵ^{2} ю потому что ю ϵ}} опыт (\frac{я ю м}{2 ℏ грех (2 ю ϵ)} (({Икс}_{0}^{2} + {Икс}_{2}^{2}) потому что 2 ю ϵ - 2 {Икс}_{0} {Икс}_{2})) . \end{matrix}

$\sqrt{\frac{m\sin\omega\epsilon}{2i\pi\hbar~2\epsilon^2\omega\cos\omega\epsilon}}\exp\left(\frac{i\omega m}{2\hbar \sin(2\omega\epsilon)}\left(\left(x_0^2+x_2^2\right)\cos2\omega\epsilon-2x_0x_2\right)\right).\tag{7}$ Сравнивая с фактическим пропагатором, который показан ниже, я вижу, что кое-что понял правильно, но коэффициент нормализации совершенно неверен. Где я неправ?

\begin{matrix} (8) & U ({Икс}_{б}, т_{б}, {Икс}_{а}, т_{а}) "=" \sqrt{\frac{м ю}{2 π я ℏ грех ю Т}} опыт (\frac{я м ю}{2 ℏ грех ю Т} (({Икс}_{а}^{2} + {Икс}_{б}^{2}) потому что ю Т - 2 {Икс}_{а} {Икс}_{б})) . \end{matrix}

$U(x_b,t_b,x_a,t_a)=\sqrt{\frac{m\omega}{2\pi i\hbar\sin\omega T}}\exp\left(\frac{im\omega}{2\hbar\sin\omega T}\left(\left(x_a^2+x_b^2\right)\cos\omega T -2x_ax_b\right)\right).\tag{8}$ PS Я использую квантовую механику и интегралы по траекториям, Фейнмана и Хиббса, чтобы изучить это.

Ответы (2)

Дискретизация действия для интеграла Фейнмана по траекториям

октонион · Answer 1

Действие, входящее в интеграл по путям, есть функционал от пути $x(t)$ . А именно,

С [Икс (т)] "=" \int_{0}^{Т} д т \frac{м}{2} ({\dot{Икс}}^{2} - ю^{2} {Икс}^{2})

$S[x(t)]=\int_0^T dt \frac{m}{2}\left(\dot{x}^2-\omega^2 x^2\right)$ который можно очень просто дискретизировать

С "=" \frac{м}{2} \sum_{я "=" 1}^{Н} \frac{({Икс}_{я + 1} - {Икс}_{я})^{2}}{ϵ} - ϵ ю^{2} {Икс}_{я}^{2}

$S=\frac{m}{2}\sum_{i=1}^N\frac{(x_{i+1}-x_i)^2}{\epsilon}-\epsilon\omega^2 x_i^2$

The $x$ в этом действии не обязательно классическая траектория, но это все же то действие, которое фигурирует в классической механике и приводит к уравнению движения гармонического осциллятора через уравнение Эйлера-Лагранжа.

Вы перепутали этот функционал действия с числовым значением функционала действия, вычисляемого на классическом пути.

С [{Икс}_{с л}] "=" \frac{м ю}{2 грех ю Т} (({Икс}_{1}^{2} + {Икс}_{2}^{2}) потому что ю Т - 2 {Икс}_{1} {Икс}_{2})

$S[x_{cl}]=\frac{m\omega}{2\sin\omega T}\left(\left(x_1^2+x_2^2\right)\cos\omega T -2x_1x_2\right)$

Это просто число (хотя число, которое зависит от граничных условий). Здесь нет $x(t)$ появляется в нем, поэтому вы не можете изменять его, чтобы получить уравнения Эйлера-Лагранжа, и вы не можете интегрировать его в интеграл по путям.

Qмеханик · Answer 2

Что касается единственного гауссова $x_1$ интеграция идет, ОП делает правильную вещь (вплоть до возможных опечаток) в экв. (7). Однако с момента приращения времени
$\begin{matrix} (я) & ϵ ≪ ю^{- 1} \end{matrix}$ $\epsilon~\ll~ \omega^{-1}\tag{i}$ должно быть небольшим (для того, чтобы фейнмановский фактор выдумки $1/A$ чтобы быть действительным), мы имеем под квадратным корнем $\begin{matrix} (ii) & \frac{грех (ю ϵ)}{2 ϵ^{2} ю потому что (ю ϵ)} \approx \frac{1}{2 ϵ} \approx \frac{ю}{грех (ю 2 ϵ)}, \end{matrix}$ $\frac{\sin (\omega \epsilon)}{2\epsilon^2\omega\cos (\omega \epsilon)}~\approx~\frac{1}{2\epsilon}~\approx~\frac{\omega }{\sin (\omega 2\epsilon)}, \tag{ii}$ в согласии с формулой Фейнмана (8) для гармонического осциллятора. См. также соответствующий пост Phys.SE.
Можно расширить результат с 2 до $N$ приращения времени, см., например, этот пост Phys.SE. Формальная концептуальная идея Фейнмана состоит в том, чтобы заменить внешнее действие $I[x;t_a;t_b]$ в интеграле по путям с дискретной суммой действий на оболочке $\sum_{i=1}^N S(x_i,t_i;x_{i-1},t_{i-1})$ ; затем проинтегрировать по всем промежуточным позициям $x_1, \ldots, x_{N-1}$ ; и, в конце концов, возьмите континуальный предел $N\to\infty$ .

Итак, я был прав, подключив классическое действие как дискретное, и это не должно быть сделано, как в другом ответе?
@Tesseract, нет, несмотря на то, что ответ Qmechanics здесь, возможно, является еще одним правильным способом трактовки интеграла по путям, мой ответ был правильным, и именно так обычно обрабатываются интегралы по путям.

Дискретизация действия для интеграла Фейнмана по траекториям

Джон Думанчич

Ответы (2)

октонион

Qмеханик

Джон Думанчич

Qмеханик

октонион

Интегралы пути для произвольных действий?

Почему бы нам не использовать релятивистское действие L=− mc21−v2c2−−−−−√L=− mc21−v2c2L=-~mc^2\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{ 2}}} при вычислении интеграла по путям для свободных частиц?

Полуклассический предел квантовой механики

Интеграл по траекториям когерентных состояний гармонических осцилляторов

Вывод лагранжевой формы интеграла Фейнмана по траекториям посредством интегрирования по Гауссу

«Найти лагранжиан теории»

Перенормировка гармонического осциллятора

Как напрямую оценить интеграл пути для гармонического осциллятора методом грубой силы?

В каком смысле (если вообще есть) действие является физической наблюдаемой?

Как рассчитать классическое действие на оболочке для гармонического осциллятора? [закрыто]