Поля скручивания в точках ветвления и операторные вставки на римановом многообразии

Вторая формула не является обобщением первой, это простое следствие определения полей кручения, как и первая. Эти формулы просто определяют формальный интеграл по путям для римановой поверхности, а затем корреляционные функции «поля кручения» по существу определяются для воспроизведения корреляционных функций. (Я буду ясным в отношении определения, см. ниже).

В работе используются обозначения$\tau$и$\bar{\tau}$для твистовых полей вместо$\Phi$и$\bar{\Phi}$, я буду использовать это. Эти поля не появляются в лагранжиане, вы не интегрируете по ним, у них нет динамики, они не представляют никаких частиц, они вообще не являются чем-то физическим. Это искусственные поля. Они изменяют граничные условия интеграла по траектории с помощью некоторых линий разреза, и они являются локальными операторами только в том смысле, что их вставка зависит только от положения, в котором вы их вставляете, а не от того, как вы рисуете линии разреза между ними.

Чтобы понять, что это такое, рассмотрим (следуя объяснению Карди) n-копий данной теории поля, скажем, теорию одного скаляра$\phi$, и тогда n-копий$\phi_i$с i от 1 до n. Поскольку вы только что продублировали теорию n раз без взаимодействия, у вас есть действие, которое является суммой действия каждого поля в отдельности. Эти n-кратные невзаимодействующие копии обладают очевидной перестановочной симметрией, любая перестановка полей эквивалентна любой другой. Эта циклическая симметрия очевидна — все поля одинаковы, каждое из них имеет одинаковое действие.

Рассмотрим подгруппу циклических перестановок, сдвигающих поле$i$выставлять на поле$i+1$, и предположим, что мы используем эту симметрию для определения новой теории поля, в которой существует специальная горизонтальная линия, проходящая между двумя горизонтально разделенными точками A и B. Когда вы пересекаете эту линию вверх, поле i превращается в поле i+1, когда вы идете вниз, он возвращается к полю i.

Сказать, что поле превращается в другое поле, значит просто сказать, что поля «прерывисто» изменяются при пересечении этой линии (я беру прерывисто в кавычки, потому что квантовые поля всегда прерывны, но значение в одной точке континуального интеграла зависит от значения рядом, и в этом случае поле, от которого вы зависите, изменяется) --- действие в интеграле по путям делает значение поля$\phi_1$чуть ниже строки, относящейся к значению$\phi_2$чуть выше линии, и никак не связано со значением$\phi_1$чуть выше линии.

Вы можете представить это в моделировании теории свободного поля. В таком моделировании вы выбираете узел решетки и заменяете значение в этом узле средним значением того же поля у четырех соседей, а также случайным гауссовским значением определенной фиксированной ширины (в зависимости от шага решетки). Прямо под волшебной линией верхний сосед, которого вы усредняете, чтобы найти желаемое значение поля 1, имеет номер поля 2, и аналогично для поля 2 вы используете поле 3 над линией в среднем, и так циклически.

Это принимает теорию n-копий на$R^2$к теории на римановой поверхности (по определению римановой поверхности с разрезами), по определению.

Но теперь обратите внимание на кое-что приятное: положение линии совершенно произвольно, пока конечные точки остаются прежними. Если вы переместите линию вверх, пока она имеет ту же конечную точку, вы можете просто локально переопределить значения решетки, используя симметрию циклической перестановки, так что теория с этим сумасшедшим сдвигом останется точно такой же . Например, предположим, что мы перемещаем все позиции в середине строки вверх на один интервал решетки. Для всех точек, которые раньше были выше, а теперь ниже, просто переместите значение$\phi_i$в любой конфигурации для$\phi_{i-1}$. Разрез делает то же самое, функция разбиения точно такая же, но разрез находится в совершенно другом месте. Это стандартная вещь для римановых поверхностей — положение разреза произвольно.

Это означает, что теорию с разрезом можно рассматривать как теорию с двумя вставками на обоих концах разреза. Свойство этих вставок в том, что когда вы берёте поле$\phi_i$вокруг левого против часовой стрелки, вы окажетесь в$\phi_{i+1}$, и если вы сделаете то же самое вокруг правильного, вы окажетесь в$\phi_{i-1}$. Это определяет поля кручения$\tau$и$\bar\tau$, которые действуют в точках A и B. Они создают начало и конец среза ответвления, и вы можете связать начало и конец друг с другом (или с бесконечностью), и вы получите ту же функцию распределения.

Итак, чтобы найти корреляционную функцию с твист-вставками:

• сделать надрез между$\tau$'песок$\bar\tau$'s (в любом случае)
• смоделируйте теорию с разрезами.
• найти математическое ожидание О.

Если O=1, то вы просто получаете статистическую сумму на римановой поверхности (статистическую сумму разреза, которая равна 1 в приведенном выше определении моделирования, поскольку в вероятностном моделировании Z=1). Если вы моделируете нетривиальный оператор O, вы найдете корреляционную функцию O при наличии разреза. Вот что означают две формулы Карди.

Тот факт, что вы можете интерпретировать твист-поля как локальные операторы, очень полезен и позволяет вам найти OPE и решить проблему римановой поверхности. Но формулы, которые вы даете, являются просто определениями, и любая путаница заключается в картине высокого уровня, определяющей их. Я надеюсь, что это все проясняет, но это не говорит ничего большего или отличного от Карди, разве что другими словами. Возможно, это будет щелкать лучше.

Я думаю, что LHS уравнения 2.7 нормализовано, что означает

$\frac{1}{Z}\int\mathcal{D}\phi \mathcal{O} exp\left(-S_{E}\left[\phi\right]\right)$оценивается на$\mathcal{M}_{n}$

Если вы положите$\mathcal{O} =1$, вы получаете 1.

Но$Z$сам по себе пропорционален корреляционной функции двух основных полей

ссылка: https://arxiv.org/abs/hep-th/0405152

раздел IIIА