Насколько я понимаю, существует примерно 2 «распространенных» вида двумерных конформных теорий поля:
Для того чтобы теория 1-й категории стала теорией 2-й категории, она должна пройти тест на модулярную инвариантность. По моему опыту, этот термин обычно означает, что теория должна быть определена в роде 1, т. е. что предполагаемая статистическая сумма тора
инвариантен относительно модулярной группы
А высший род? Является ли условие тора достаточным для того, чтобы теория была определена там корректно? Или накладывает дополнительные условия? Если да, то можно ли привести их к аналогичной элегантной алгебраической форме? Доказаны ли эти условия для КТП, используемых в теории струн?
Модульная группа создается для , для рода . Это группа, меняющая местами 1-циклы римановой поверхности с сохранением числа пересечений (антисимметричный тензор). Напомним, что пространство модулей римановых поверхностей многомерно, а именно -габаритные (реальные размеры) для .
В общем случае модулярная инвариантность при гарантирует модулярную инвариантность на всех конечных .
Поверхность высшего рода можно рассматривать как связную сумму торов, а соединяющий цилиндр в связной сумме можно заменить суммой по всем распространяющимся частицам. Если теория модульно-инвариантна на торе, вы знаете, что можете выполнять модульные преобразования на каждом торе отдельно, и все будет согласовано. Интуитивно понятно, что каждый большой диффеоморфизм поверхности высокого рода может быть сгенерирован с использованием генераторов, каждый из которых находится в отдельном различных торов связной суммы. Таким образом, зная торомодульную инвариантность теории, правильную для всех торов и вставок на торах, вы узнаете, что большие диффеоморфизмы допустимы.
Набросок доказательства: вы разрезаете тор по петлям на куски, гомеоморфные треугольникам, затем рассматриваете образ петель при диффеоморфизме. При ограничении каждого тора существует ненулевое число пересечений образа петель со старыми петлями, и вы выполняете большой диффеоморфизм всякий раз, когда это может уменьшить число пересечений. продолжайте на каждом торе, пока вы не сможете дальше уменьшать числа пересечений. В этой точке число пересечений должно быть как можно меньше, а это означает, что кривые изотопны своему исходному положению, так что теперь диффеоморфизм непрерывно связан с тождеством.
Я не проверял это подробно (я должен), но главная лемма, которая вам нужна, заключается в том, что вы всегда можете уменьшить неминимальное число пересечений, изотопируя кривые так, чтобы они приближались к одному роду, и выполняя очень правдоподобно. Также может быть более простое доказательство.
Обзорная ссылка для случая суперструн в формализме NSR: http://arxiv.org/abs/0804.3167
Мне сказали, что чисто спинорный формализм пошел немного дальше в подсчете родов.
Сяо-Ганг Вэнь