После использования оператора уничтожения в вакууме, почему это 000 вместо вакуума?

Рассмотрим простейший случай квантового гармонического осциллятора с операторами рождения и уничтожения$a^{\dagger}$а также$a$соответственно. Основное состояние нашей системы:$\lvert 0 \rangle$что имеет энергию,

$$E_0 = \frac{1}{2}\hbar \omega$$

Каждый раз, когда действует оператор создания, состояние$\lvert n \rangle \to \lvert n+1 \rangle$, по модулю некоторых констант. Точно так же операторы уничтожения понижают целое число$n$. Поэтому, если мы применим$a$в основное состояние, мы достигаем$n=-1$, что не допускается,$^{\dagger}$иначе наш гамильтониан был бы неограничен снизу. Значит, государство должно быть полностью уничтожено, т.е. сведено к нулю.

---

Предположим, мы приняли ваше предложение,

$$a \lvert 0 \rangle = \lvert 0 \rangle$$

Можно показать, что такое предположение приводит к противоречию. Мы можем вычислить норму основного состояния,

$$\left( \lvert 0 \rangle \right)^{\dagger} \left(\lvert 0 \rangle \right) = \left( a\lvert 0 \rangle \right)^{\dagger} \left(a\lvert 0 \rangle \right) = \langle 0 \lvert a^\dagger a \rvert 0 \rangle$$

Теперь, поскольку по предположению$a\lvert 0 \rangle = \lvert 0 \rangle$, мы можем сделать обмен снова,

$$\langle 0 \lvert a^\dagger a \rvert 0 \rangle = \langle 0 \lvert a^\dagger \rvert 0 \rangle = \langle 0 \lvert 1 \rangle$$

что является противоречием, если мы не принимаем$\vert 0 \rangle = \lvert 1 \rangle$, что явно неразумно.

---

$\dagger$Одна из причин$n=-1$не допускается следующее: Напомним, что для квантового гармонического осциллятора стандартные отклонения импульса и положения должны подчиняться соотношению неопределенностей,

$$\sigma_x \sigma_p = \hbar\left( n + \frac{1}{2}\right) \geq \frac{\hbar}{2}$$

Самое низкое значение$n$неравенство$n=0$; ниже и она нарушена.