Поведение преобразования скалярного поля N=4 SYM после топологического поворота

Таким образом, ответ в некотором смысле затемняется явной размерностью d = 4 этой настройки. Скаляры преобразуются по определению как синглет голономии U(2) до поворота, т.е. скаляры являются элементами$\Omega^0(M)$а также не облагаются$U(1)_J$,$U(1)$входит в группу голономии.

Но шесть скаляров в$N=4$Теории SYM вращаются друг в друге$SU(4) \simeq SO(6)$и сформируйте вектор SO (6). Теперь, для топологического поворота, мы разделили

$$SO(6) \rightarrow SU(2)_A \times SU(2)_B \times U(1)_\mathcal{R}$$ при котором скалярные поля распадаются на четыре действительных скалярных поля, преобразующихся как $(\boldsymbol{2}, \boldsymbol{2})$под $SU(2)_A \times SU(2)_B$и пара комплексных скаляров, заряженных под $U(1)_\mathcal{R}$. Это только скаляры, упомянутые в моем вопросе, $$(\boldsymbol{1})_{0,1} \oplus (\boldsymbol{1})_{0,-1} \text{ under } SU(2) \times U(1)_J \times U(1)_\mathcal{R}.$$ Выше $SU(2)$из $U(2)$голономия. Конечно, они оба по-прежнему являются «скалярами» с точки зрения пространства-времени.

Теперь скручиваем$U(1)_J$группы голономии через

$$J'= J + 2\mathcal{R}$$ а ранее незаряженные (по группе голономии) состояния трансформируются теперь как $$(\boldsymbol{1})_{2} \oplus (\boldsymbol{1})_{-2}$$ под $SU(2) \times U(1)_{J'}$. Но это представление есть точно такое же представление 2-формы на кэлеровом 2-многообразии! Это синглет под $SU(2)$так как это топ-форма на 2-м многообразии, т.е. элемент $\Omega^{2,0}$или $\Omega^{0,2}$но заряд 2 под U(1) указывает на то, что это элемент 2-й внешней степени $\Lambda^2 T^*M$и не только функция.

Это будет более очевидно, если вы посмотрите на спинор после поворота. Перед поворотом правосторонний спинор трансформируется в$(\boldsymbol{2,1})$под$Spin(4) \simeq SU(2) \times SU(2)_J$что, конечно, не является 1-формой. После подкрутки они распадаются и мы получаем спинор в представлении

$$(\boldsymbol{2})_{1} \text{ of } SU(2) \times U(1)_{J'} \subset U(2)$$ что в точности представляет собой разложение элемента вектора rep. из $U(2)$в данном разветвлении, поэтому спинор является одной формой или элементом $\Lambda^1 T^*M$после поворота.