Правильное понимание концепции волновой функции и ее универсальности

Волновая функция, безусловно, более универсальна, чем вы считаете. Волновая функция содержит всю информацию о частице. Это может быть пространственная информация, как в случае, который вы рассматриваете, но это может быть и «внутренняя» информация о частице, которая не имеет ничего общего ни с пространственным положением, ни с импульсом. Например, кварки бывают трех «цветов», и «какой это цвет» кодируется частью волновой функции, которая не является функцией$x$, является функцией дискретного индекса$i=\{1,2,3\}$.

Это может сбивать с толку, если вы думаете о волновой функции как о буквальной функции пространства, конца. Правильный способ понять это, как вы сказали в процитированном отрывке: это вектор в абстрактном пространстве, которое мы называем гильбертовым пространством. Итак, что самое основное вы знаете о векторах? «Вы можете описать их по разным основаниям». Да. Поэтому, когда вы говорите о волновой функции как о функции$x$, то есть вы описываете этот вектор в базисе пространственных точек: этот вектор имеет некоторую компоненту вдоль каждого из этих базисных направлений, то есть в каждой точке$x$. Когда вы конвертируете в сферические гармоники, вы просто меняете базис на базис, соответствующий угловому моменту. И в этом базисе можно просто считывать вероятности пребывания в различных состояниях углового момента, как раньше можно было считывать вероятности пребывания в разных пространственных областях.

Итак, ваш вопрос

Волновая функция, записанная тем или иным образом, должна по-прежнему нести только информацию о вероятности нахождения частицы в области пространства. Как мы можем извлечь нужную нам информацию и почему?

эквивалентен следующему вопросу о векторах, к которым вы привыкли:

Этот вектор в данный момент выражен в определенном базисе, поэтому несет информацию о своих компонентах только по этому базису. Как я могу извлечь информацию о его компонентах на другой основе?

За исключением того, что вы знаете ответ на этот вопрос. Вектор в одном базисе по-прежнему содержит ту же информацию, что и в другом базисе. Чтобы найти одно из другого, вы просто выполняете некоторую тригонометрию. То же самое и с волновой функцией...

Так как же выглядит эта «тригонометрия» в квантовой механике? Я буду использовать нотацию Дирака, потому что, похоже, вам это удобно. В этих обозначениях волновая функция как функция пространства имеет вид$\psi(x) = \langle{x}|{\psi}\rangle$, то есть вектор$|\psi\rangle$проецируется на основу$\langle x|$. Вместо этого мы могли бы выразить волновую функцию в основе сферических гармоник. Напишем это как$\psi_{lm} = \langle lm|{\psi}\rangle$. Эти вещи были бы комплексными числами, которые вы бы возвели в квадрат, чтобы получить вероятности измерения различных значений углового момента! Остается вопрос, как преобразовать одно в другое. Для этого нам потребуется выразить$\langle lm|$с точки зрения$\langle x|$. Давайте назовем это$Y_{lm}(x) = \langle x|lm\rangle$. (я все еще пишу$x$здесь, но конечно$x$можно выразить через$\theta$и$\phi$.) Знаменитый$Y_{lm}$s - проекции базисных векторов углового момента на базисные векторы положения. Наконец, нам просто нужно вставить$\langle lm|$в наше исходное выражение$\langle x|\psi \rangle$. Поскольку$\langle lm|$образуют полный базис, если мы суммируем по ним, это дает тождественный оператор в следующем смысле:

$$\begin{equation}1=\sum_{lm} |lm\rangle \langle lm| \end{equation}$$ где сумма пробегает соответствующие значения$l$и$m$. (Я предполагаю, что вы знакомы с этим типом идентичности. Похоже, вы основываетесь на своем исходном сообщении.) Поскольку это равно 1, мы можем вставить его в наше исходное выражение. $$\begin{equation} \psi(x)=\langle x|\psi \rangle = \sum_{lm} \langle x|lm\rangle \langle lm|\psi\rangle = \sum_{lm} Y_{lm}(x) \langle lm|\psi\rangle. \end{equation}$$ Напомним, что$\langle lm|\psi\rangle$дает интересующие нас вероятности. Итак, глядя на это выражение, мы видим, что они являются коэффициентами$Y_{lm}$который вы теперь можете прочитать из выражения в вашем посте.

Во-первых, хороший обзор векторов. Если у нас есть вектор$\mathbf v$, мы можем выразить этот вектор как линейную комбинацию базисных векторов. И нет единственного способа сделать это. Типичный пример, который мы впервые видим, выглядит примерно так:$\mathbf v=v_x\,\hat x+v_y\,\hat y+v_z\,\hat z$, где базисные векторы совпадают с осями координат. Но мы можем выбрать другой набор линейно независимых базисных векторов, которые не выровнены с осями, если захотим. В общем у нас просто$\mathbf v=v_1\,\hat e_1+v_2\,\hat e_2+v_3\,\hat e_2$.

Еще более важным является тот факт, что если мы знаем, как базисные векторы$\hat x,\hat y, \hat z$можно выразить через$\hat e_1,\hat e_2,\hat e_3$, то мы можем легко перейти от описания$\mathbf v$в первую очередь к описанию$\mathbf v$во вторых базах (или наоборот).

Теперь на ваш вопрос

Но как и почему я могу вывести информацию о$L^2$и$L_z$только с волновой функцией?

Информация квантовой системы математически закодирована в векторе состояния $|\psi\rangle$. Что мы называем «волновой функцией»$\psi(\mathbf r)$на самом деле просто функция, описывающая компоненты вектора состояния$|\psi\rangle$ в базисе позиции (т.е. базисе, образованном непрерывным набором собственных состояний позиции$|x\rangle$).

Кроме того, если мы знаем, как базисные векторы положения$|x\rangle$относятся к базисным функциям углового момента$|\ell,m\rangle$(через функции сферических гармоник), то мы мгновенно узнаем информацию об угловом моменте$|\psi\rangle$связывая$\psi(\mathbf r)$(информация о «компонентах положения») к информации о «компонентах углового момента».

Но для того, чтобы использовать волновую функцию таким образом, чтобы найти результаты об угловом моменте, волновая функция должна быть выражена в базе собственных состояний$L_z$, верно? Мы этого не делаем! Вместо этого мы переписываем его с собственными функциями, что не одно и то же или, по крайней мере, неочевидно.

Итак, вот что вы делаете. Вы можете выразить свое состояние как линейную комбинацию состояний углового момента:

$$|\psi\rangle=\sum_{\ell,m}\psi_{\ell,m}|{\ell,m}\rangle$$

а затем вы смотрите на базовые компоненты позиции этого

$$\langle \mathbf r|\psi\rangle=\psi(\mathbf r)=\sum_{\ell,m}\psi_{\ell,m}\langle\mathbf r|{\ell,m}\rangle$$

и эти$\langle\mathbf r|{\ell,m}\rangle$ваши сферические гармоники. Поэтому, если вы можете выразить$\psi(\mathbf r)$как линейная комбинация сферических гармоник, вы знаете$\psi_{\ell,m}$. Если вы знаете$\psi_{\ell,m}$тогда вы знаете, что$|\psi\rangle$в терминах собственных состояний углового момента. И, конечно же,$|\psi_{\ell,m}|^2$сообщает вам вероятность измерения состояния$|\ell,m\rangle$учитывая начальное состояние$|\psi\rangle$.

Ваше утверждение о том, что такое волновая функция, вовсе не неверно, и ваш второй пример никоим образом не противоречит вашему первому утверждению! Полезность волновой функции объясняется точно и кратко. Ваш второй пример просто выражает волновую функцию в другом наборе координат, сферическом. Но вы все же вправе сказать, что интеграл от этой функции сделан правильно (а в вашем утверждении действительно есть ошибка) он измеряет вероятность нахождения частицы в интервале интегрирования. В 3D этот интервал был бы 3D ячейкой. Ваш пример со сферическими координатами не нарушает ваших ожиданий.

Чтобы исправить вашу ошибку, интегрируется НЕ волновая функция, а квадрат ее величины,$|\psi|^2$, который измеряет плотность вероятности.

Что касается измерения других величин, то вы спрашиваете не о полезности волновой функции, а о полезности математической абстракции линейных операторов, действующих в функциональном пространстве. Это присутствует даже в классической теории поля, акустике, электромагнетизме и т. д.

Способность «выводить» информацию о других величинах встроена в постулаты квантовой теории. Устный перевод$|\psi|^2$как плотность вероятности, то ожидаемое значение любой переменной,$v$, обозначенный$<v>$, связанный с частицей, будет интегралом$v |\psi|^2$. Это просто классическая теория вероятностей, примененная к измеримым величинам, связанным с состоянием частицы. Одно важное отличие, выраженное в постулатах КМ, заключается в том, что наблюдаемая представляется как оператор, действующий на функции в гильбертовом пространстве. Таким образом, QM-версия ожидаемого значения равна$<\psi|v\psi>$где$v$теперь оператор. На основе этого можно получить оценку любой четко определенной величины, используя волновую функцию и оператор для величины.

Что касается последнего примера, в котором обсуждается волновая функция, записанная как сумма других функций, опять же, это больше математический принцип, который был сопоставлен с постулатом физики. Гильбертово пространство является абстракцией линейного векторного пространства, и, как и все линейные пространства, любая функция может быть выражена как сумма по ортонормированному базису, как указывают другие ответы. Это не обязательно для того, чтобы волновая функция была хорошо определена или полезна. Напротив, это способ использовать математику, чтобы извлечь из нее больше пользы. Каждая наблюдаемая величина выражается в виде оператора (в частности, эрмитова оператора), а собственные значения этого оператора представляют разрешенные наблюдаемые значения. Решения уравнения на собственные значения для каждого такого оператора в качестве базиса пространства функций. Любая функция в пространстве может быть записана как линейная комбинация любого из оснований. Итак, то, что вы привели в качестве примера, является одной из таких линейных комбинаций конкретных собственных функций операторов углового момента. Но с тем же успехом это мог быть оператор линейного импульса, или оператор положения, или любой другой оператор «физических измерений». Учитывая любую произвольную волновую функцию, ее проекция на основе конкретной собственной функции измерения даст вам вероятность измерить собственное значение, соответствующее этой собственной функции. оператор. Учитывая любую произвольную волновую функцию, ее проекция на основе конкретной собственной функции измерения даст вам вероятность измерить собственное значение, соответствующее этой собственной функции. оператор. Учитывая любую произвольную волновую функцию, ее проекция на основе конкретной собственной функции измерения даст вам вероятность измерить собственное значение, соответствующее этой собственной функции.

Я мог бы дать вам волновую функцию$sin(kr)/kr$которое всюду корректно определено и нормализуется. Если вы хотите определить вероятность измерения углового момента с$l=6$, вы выражаете функцию как бесконечный ряд в$L^2$собственные функции и вытяните коэффициент$l=6$срок. Это немного проще, так как этот коэффициент просто$<\phi_6|\psi>$, где$\phi_6$это$l=6$собственная функция. Тогда вероятность увидеть это значение равна$|<\phi_6|\psi>|^2$. То же самое для линейного импульса, просто найдите собственные функции для этого оператора и вычислите проекцию на него,$|<\phi_k|\psi>|^2$.

Если бы кто-то построил большой статистический ансамбль экспериментов для измерения этой переменной с идентичными начальными волновыми функциями, то математическое ожидание этого оператора измерения$<\psi|M\psi>$, будет равняться среднему наблюдаемому значению. Как только вы проводите измерение, вы «коллапсируете волновую функцию», и частица не находится в собственном состоянии$M$, все будущие измерения дадут одно и то же количество. Единственный способ проверить статистическую природу этого — сбросить волновую функцию и снова выполнить измерение. Скорее всего, каждый раз вы будете получать разные результаты, возможно некоторое повторение, как при подбрасывании монеты и получении {H, T, H, H, T, H, T, T, ...}.

Чтобы понять «значение» волновой функции, вам действительно нужно знать полный набор постулатов КМ и общепринятую в настоящее время интерпретацию, которая всегда может быть изменена.