Почему ℓ=0ℓ=0\ell=0 соответствует сферически-симметричным решениям для сферических гармоник?

Question

Почему ℓ=0ℓ=0\ell=0 соответствует сферически-симметричным решениям для сферических гармоник?

пользователь 24082

Почему в квантовой механике состояния с $\ell=0$ в атоме водорода соответствуют сферически-симметричным сферическим гармоникам?

хиш

Вы имеете в виду в концептуальном или математическом смысле?

пользователь 24082

Я думаю, оба были бы восхитительны.

Джеффри

Вы спрашиваете, почему

Y_{0}^{0} (θ, ϕ)

$Y_0^0(\theta,\phi)$ сферически симметрично, или почему сферические гармоники являются частью решения, или почему состояние с нулевым угловым моментом сферически симметрично? На самом деле, ответ на любой из этих вопросов вполне может быть таким: потому что так говорит математика.

пользователь 24082

Я спрашиваю, почему ТОЛЬКО состояния с нулевым угловым моментом симметричны.

джошфизика

Знаете ли вы, что существует только одно государство с

ℓ = 0

$\ell = 0$ , а именно

Y_{0}^{0}

$Y^0_0$ , и он постоянен и, следовательно, сферически симметричен.

Славики

Наличие ненулевого углового момента означает, что он должен куда-то указывать, следовательно, не все направления в пространстве эквивалентны, отсюда и отсутствие сферической симметрии.

СЭМ

@Slaviks Хороший интуитивный ответ.

Ответы (2)

Почему ℓ=0ℓ=0\ell=0 соответствует сферически-симметричным решениям для сферических гармоник?

Вы имеете в виду в концептуальном или математическом смысле?
Я думаю, оба были бы восхитительны.
Вы спрашиваете, почему $Y_0^0(\theta,\phi)$ сферически симметрично, или почему сферические гармоники являются частью решения, или почему состояние с нулевым угловым моментом сферически симметрично? На самом деле, ответ на любой из этих вопросов вполне может быть таким: потому что так говорит математика.
Я спрашиваю, почему ТОЛЬКО состояния с нулевым угловым моментом симметричны.
Знаете ли вы, что существует только одно государство с $\ell = 0$ , а именно $Y^0_0$ , и он постоянен и, следовательно, сферически симметричен.
Наличие ненулевого углового момента означает, что он должен куда-то указывать, следовательно, не все направления в пространстве эквивалентны, отсюда и отсутствие сферической симметрии.

Адам · Answer 1

Один из способов понять это — признать, что для сферической гармоники $|l,m\rangle$ с $l=0$ (и очевидно $m=0$ ), у нас есть $\hat L_i|0,0\rangle=0$ , где $\hat L_i$ - оператор углового момента в направлении $i=x,y,z$ . Это очевидно для $\hat L_z$ , собственное значение которого $m=0$ , и может быть проверено для двух других.

Тогда оператор вращения $\hat R(\theta)$ вокруг направления $\vec n$ с углом $\theta$ дан кем-то

\hat{р} (θ) "=" опыт (я θ \vec{н} . \vec{\hat{л}})

$\hat R(\theta)=\exp(i\theta \,\vec n . \vec{\hat L} )$ откуда мы ясно видим, что состояние

| 0, 0 ⟩

$|0,0\rangle$ инвариантен для всех вращений:

\hat{R} (θ) | 0, 0 ⟩ = | 0, 0 ⟩

$\hat R(\theta)|0,0\rangle=|0,0\rangle$ и поэтому является сферически симметричным.

В этой формулировке вы видите, что это единственное подобное состояние. Можно также показать, что состояние $|l,0\rangle$ осесимметрична (вдоль $z$ ) и т. д. Посмотрите, например, на эту красивую картинку: введите описание изображения здесь

пользователь35033 · Answer 2

Предположим, что существует сферически-симметричная волновая функция $\psi({\bf r})=f(r)$ для которого $l\neq0$ . Этого не может быть, ибо если вычислить $\langle \psi | L^2 | \psi \rangle$ мы всегда будем получать ноль, так как каждый член в $L^2$ имеет производные по $\theta$ и $\phi$ .

Концептуально говоря, сферически-симметричное состояние дает электрону возможность двигаться по орбите вокруг любой оси. Другими словами, он не вращается вокруг оси.

Почему ℓ=0ℓ=0\ell=0 соответствует сферически-симметричным решениям для сферических гармоник?

пользователь 24082

хиш

пользователь 24082

Джеффри

пользователь 24082

джошфизика

Славики

СЭМ

Ответы (2)

Адам

пользователь35033

Правильное понимание концепции волновой функции и ее универсальности

Как найти волновую функцию частицы в системе покоя?

Система двух частиц

Ожидаемое значение ⟨1r2⟩⟨1r2⟩\langle \frac{1}{r^2} \rangle с использованием теоремы Хеллмана – Фейнмана

Симметрия пространственной волновой функции, не зависящая от MLMLM_L?

Собственные состояния орбитального углового момента в представлении |r⟩|r⟩|\mathbf{r}\rangle

Какова волновая функция системы, состоящей из фермионов и бозонов?

Четные и нечетные состояния одномерной конечной потенциальной ямы

Возможен ли молекулярный терм 1Σ−1Σ−{}^1\Sigma^- в молекуле?

Сферическая симметрия волновой функции куперовской пары