Вариация действия при бесконечно малых произвольных преобразованиях и теорема Нётер

Рассмотрим произвольное инфинитезимальное преобразование полей и их координат:

$$x'^{\mu}= x^{\mu} + \delta x^{\mu} = x^{\mu} + \frac{\delta x^{\mu}}{\delta{\omega}^a}{\omega}^a\tag{1}$$

$${\Phi}'(x') = {\Phi}(x) + \delta\Phi= {\Phi}(x) + \frac{\delta\Phi}{\delta\omega^a}{\omega}^a\tag{2}$$

где${\{\omega}^a\}$представляет собой набор бесконечно малых параметров. Соответствующий вариант действия:

$$\delta S= \delta (\int{dx \,\mathcal{L}[\Phi,\partial^{\mu}\Phi]})=\int{(dx \, \delta \mathcal{L}} +\mathcal{L}\,\delta dx)= \int{dx (\delta \mathcal{L}+\mathcal{L}\,\partial_{\mu}\delta x^{\mu})}\tag{3}$$

Сейчас если

$$\delta=\delta_0 + \delta x^{\mu}\partial_{\mu},\tag{4}$$

где:

$\delta_0 \phi (x)=\phi'(x)-\phi(x)$в первом порядке, тогда вариация становится:

$$\delta S=\int{dx\,(\delta\mathcal{L}+\mathcal{L}\,\partial_{\mu}\delta x^{\mu})}=\int{dx(\delta_0\mathcal{L}+\delta x^{\mu}\partial_{\mu}\mathcal{L}+\mathcal{L}\,\partial_{\mu}\delta x^{\mu})}$$ $$=\int{dx\,(\delta_0\mathcal{L}+ \partial_\mu(\mathcal{L}\delta x^{\mu}))}=\int{dx\,(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial{\Phi}}\delta_0\Phi}+\frac{\partial{\mathcal{L}}}{\partial[\partial_\mu\Phi]}\delta_0\partial_\mu\Phi+ \partial_\mu(\mathcal{L}\delta x^{\mu})).\tag{5}$$

Используя уравнения Эйлера-Лагранжа и коммутацию$\delta_0$и$\partial$, последний интеграл принимает вид:

$$\delta S=\int{dx\,\partial_\mu(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial[\partial_\mu\Phi]}\delta_0\Phi+\mathcal{L}\delta x^\mu)}.\tag{6}$$

Теперь мы возвращаемся к$\delta$от$\delta_0$:

$$\delta S =\int{dx\,\partial_\mu(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial[\partial_\mu\Phi]}\delta\Phi-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial[\partial_\mu\Phi]}\delta x^\nu\partial_\nu\Phi+\mathcal{L}\delta x^\mu)}\tag{7}$$

и наконец:

$$\delta S =\int{dx\,\partial_\mu(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial[\partial_\mu\Phi]}\delta\Phi-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial[\partial_\mu\Phi]}\delta x^\nu\partial_\nu\Phi+\mathcal{L}\delta x^\mu)} \\ =\int{dx\,\partial_\mu[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial[\partial_\mu\Phi]}\delta\Phi+(\mathcal{L}\delta^\mu_\nu-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial[\partial_\mu\Phi]}\partial_\nu\Phi)\delta x^\nu]}\\ =\int{dx\,\partial_\mu\{[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial[\partial_\mu\Phi]}\frac{\delta\Phi}{\delta\omega^a}+(\mathcal{L}\delta^\mu_\nu-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial[\partial_\mu\Phi]}\partial_\nu\Phi)\frac{\delta x^\nu}{\delta\omega^a}]\delta\omega^a\}}.\tag{8}$$

Теперь определяем:

$$j^{a\mu} = (\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial[\partial_\mu\Phi]}\partial_\nu\Phi-\mathcal{L}\delta^\mu_\nu)\frac{\delta x^\nu}{\delta\omega^a} - \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial[\partial_\mu\Phi]}\frac{\delta\Phi}{\delta\omega^a}\tag{9}$$

в итоге получаем:

$$\delta S = - \int{dx\,\partial_\mu(j^{a\mu}\delta\omega^a)}.\tag{10}$$

Предположим пока, что$\{\omega^a\}$являются$x$-независимые, такие что:

$$\delta S = - \int{dx\,\partial_\mu(j^{a\mu})\delta\omega^a}.\tag{11}$$

1. Вот мой первый вопрос: нужно ли мне это спрашивать?$S$инвариантен относительно моих преобразований, чтобы получить

   $$\partial_\mu\,j^{a\mu}=0~?\tag{12}$$ Или может ли преобразование быть произвольным, учитывая, что в каждом случае $$\delta S = 0\tag{13}$$ для всех бесконечно малых вариаций полей, удовлетворяющих динамическим уравнениям Эйлера-Лагранжа?

2. Тогда приходит мой второй вопрос. Моя книга$^{(1)}$говорит, что даже без учета уравнений ЭЛ изменение действия при бесконечно малом произвольном преобразовании$(1),(2)$является:

   $$\delta S=-\int{dx\,j^{\mu a}\partial_{\mu}\omega^a}\tag{14}.$$ Теперь я не знаю, как$(14)$могут быть получены без учета уравнений ЭЛ, потому что если$j^{\mu a}$не имеет$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\Phi}$условия только благодаря этим уравнениям.

$^{(1)}$Филипп Ди Франческо, Пьер Матье, Давид Сенешаль - Конформная теория поля, стр. 41.