Применение закона Ампера в ситуации с нефизическим ЭЭЭ-полем?

В области без тока и плотности заряда электрические и магнитные поля подчиняются волновому уравнению

$$\left( \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2 \right) \mathbf E(\mathbf r, t) = 0$$

Этот результат следует непосредственно из уравнений Максвелла (вы, скорее всего, знакомы с этим выводом; если нет, то он прост и его можно найти, например, здесь ).

Очевидно, электрическое поле, которое вам дали, не удовлетворяет волновому уравнению, а это значит, что оно не является частью жизнеспособного решения уравнений Максвелла. Другими словами, магнитного поля нет.$\mathbf B(\mathbf r,t)$такой, что$\mathbf E(\mathbf r,t)$и$\mathbf B(\mathbf r,t)$вместе удовлетворяют всем четырем уравнениям Максвелла одновременно, а это означает, что вопрос (относящийся к магнитному потоку) не имеет осмысленного решения.

Это ошибка (или, возможно, преднамеренное упущение) со стороны вашего инструктора, вероятно, из-за желания упростить расчет для вас.

Возможное исправление

То, что он/она мог бы написать, это что-то вроде

$$\mathbf E(\mathbf r,t) = E_0 \sin(\omega t) \cos(\frac{\omega}{c} y) \hat{\mathbf k}$$

Это электрическое поле удовлетворяет волновому уравнению и соответствует магнитному полю, определяемому выражением

$$\mathbf B(\mathbf r,t) = \frac{E_0}{c} \cos(\omega t) \sin(\frac{\omega}{c}y) \hat{\mathbf i}$$

Проблема с чем-то вроде этого заключается в том, что он делает этот интеграл довольно беспорядочным. Однако наш расчет можно упростить, предположив, что размер петли очень мал по сравнению с длиной волны этой стоячей волны, т.е.$\frac{\omega a}{c} \ll 1$. Расширение Тейлора до второго порядка дает нам

$$\mathbf E(\mathbf r,t) = E_0 \sin(\omega t)\left(1 - \frac{\omega^2 y^2}{2c^2}\right) \hat{\mathbf k}$$ и $$\mathbf B(\mathbf r,t) = \frac{E_0}{c} \cos(\omega t) \left(\frac{\omega y}{c}\right)\hat{\mathbf i}$$

Выполнение интеграла потока дает

$$\iint \frac{\partial \mathbf E}{\partial t} \cdot d\mathbf S = \omega E_0\cos(\omega t) \int_0^{2\pi} \int_0^a r \left(1 - \frac{\omega^2}{c^2}r^2 \sin^2(\theta)\right) dr d\theta$$ $$= \omega E_0\cos(\omega t)\left( \pi a^2 - \frac{\omega^2}{c^2}\pi \frac{a^4}{4}\right)= \pi a^2 \omega E_0 \cos(\omega t)\left( 1 - \left[\frac{\omega a}{c}\right]^2\right)$$

Соответствующая циркуляция в магнитном поле будет

$$\oint \mathbf B \cdot d\mathbf r = \frac{\omega E_0}{c^2} \cos(\omega t) \int_0^{2\pi} a^2 \sin^2(\theta) d\theta = \frac{\pi a^2 \omega E_0}{c^2}\cos(\omega t)$$

что соответствует тому, что мы ожидаем в самом низком порядке в$\left(\frac{\omega a}{c}\right)$.

Обсуждение

Ключом к этому является безразмерный параметр$\epsilon \equiv \frac{\omega a}{c}$. Электрическое поле, созданное вашим инструктором, можно рассматривать как самое грубое приближение к реальному электрическому полю, подобное тому, которое я записал. Достаточно ли этого приближения, зависит от того, что вы хотите с ним делать — как видите, оно правильно дает вклад низшего порядка в электрический поток через контур, но неверно дает, что соответствующее магнитное поле везде обращается в нуль . Для того, чтобы получить наименьший порядковый член в$\mathbf B$от$\mathbf E$, нам нужно сохранить хотя бы один член более высокого порядка.

---

Подводя итог, ваш инструктор дал вам приближение к физическому$\mathbf E$поле. Аппроксимация достаточна для расчета циркуляции соответствующих$\mathbf B$поле в самом низком порядке, но недостаточно для вычисления$\mathbf B$само поле.

Закон Ампера-Максвелла включает частную производную магнитного поля индукции :

$$\nabla\times\mathbf{E}(\mathbf{r},t)=-\frac{\partial\mathbf{B}(\mathbf{r},t)}{\partial t}$$

Обратите внимание на разницу между полной производной и частной :

Позволять$f(x,y,z,t)\equiv f(\mathbf{r},t)$быть функцией положения и времени, то его полная производная по времени равна:

$$\frac{df(\mathbf{r},t)}{dt}= \frac{\partial f(\mathbf{r},t)}{\partial t}+\dot{\mathbf{r}}\cdot \nabla f(\mathbf{r},t)$$

Итак, если предположить, что магнитное поле имеет вид$\mathbf{B}(\mathbf{r},t)=(B_x,B_y,B_z)$, тот факт, что частные производные по времени обращаются в нуль:

$$\frac{\partial B_x}{\partial t}=\frac{\partial B_y}{\partial t}=\frac{\partial B_z}{\partial t}=0$$

не говорит, что$\mathbf{B}$постоянна во времени. В этом смысле ваше упражнение не является некорректным и правильный ответ тот, который вы написали. Тем не менее пространственно однородное, но изменяющееся во времени электрическое поле вовсе не является физическим, как указывали вы и некоторые другие.