Принцип Даламбера: необходимость виртуальных перемещений

Question

Принцип Даламбера: необходимость виртуальных перемещений

Физика
классическая механика
ньютоновская механика
ограниченная динамика
лагранж-формализм
вариационный принцип

Сандеш Калантре

Почему принцип Даламбера
$\sum_{я} (Ф_{я} - м_{я} а_{я}) \cdot дельта р_{я} знак равно 0$ $\sum_{i} ( {F}_{i} - m_i \bf{a}_i )\cdot \delta \bf r_i = 0$ заявлено в терминах «виртуальных» перемещений вместо реальных перемещений?
Почему так необходимо «замораживать» время в перемещениях?
Кроме того, что бы $\sum_{i} ( {F}_{i} - m_i \bf{a}_i )\cdot d \bf r_i$ соответствуют ли вообще чему? Другими словами, каково будет значение выражения с реальными перемещениями вместо виртуальных?

джошфизика

Я хотел бы сделать прогноз на будущее. Вскоре вы получите ответ от пользователя, чье имя начинается с «Q» и заканчивается на «c».

Тримок

В основе лежит лагранжева механика . Чтобы найти реальное движение (путь), нужно экстремировать действие, причем вариация действия, рассчитанная для реального пути и виртуального бесконечно близкого пути, должна быть равна нулю. В фиксированное время

t

$t$ , бесконечно малое изменение координат между этими двумя бесконечно близкими путями является виртуальным смещением

δ \vec{r} (t)

$\delta \vec r(t)$ .

Тримок

....... Принцип Даламбера - это родственная философия с ограничениями и понятиями виртуальной работы, обобщенных координат, обобщенных сил и обобщенных уравнений движения . Последний, с консервативной силой

F_{i} = - \frac{\partial U (\vec{r})}{\partial x^{i}}

$F_i = - \frac{\partial U(\vec r)}{\partial x^i}$ , эквивалентны уравнениям Эйлера-Лагранжа .

Сандеш Калантре

Уравнения Эйлера-Ланранжа можно вывести в их полной форме, просто используя принцип Дальмебера и тот факт, что ограничения являются голономными. Таким образом, мы не можем ссылаться на принцип действия или уравнения Эйлера-Ланранжа, поскольку это просто приводит к круговым рассуждениям.

Селена Рутли

@joshphysics Вот видите! В конце концов, физика супердетерминистична!

Qмеханик

Или хотя бы один человек суперпредсказуем :)

Ответы (4)

Принцип Даламбера: необходимость виртуальных перемещений

Я хотел бы сделать прогноз на будущее. Вскоре вы получите ответ от пользователя, чье имя начинается с «Q» и заканчивается на «c».
В основе лежит лагранжева механика . Чтобы найти реальное движение (путь), нужно экстремировать действие, причем вариация действия, рассчитанная для реального пути и виртуального бесконечно близкого пути, должна быть равна нулю. В фиксированное время $t$ , бесконечно малое изменение координат между этими двумя бесконечно близкими путями является виртуальным смещением $\delta \vec r(t)$ .
....... Принцип Даламбера - это родственная философия с ограничениями и понятиями виртуальной работы, обобщенных координат, обобщенных сил и обобщенных уравнений движения . Последний, с консервативной силой $F_i = - \frac{\partial U(\vec r)}{\partial x^i}$ , эквивалентны уравнениям Эйлера-Лагранжа .
Уравнения Эйлера-Ланранжа можно вывести в их полной форме, просто используя принцип Дальмебера и тот факт, что ограничения являются голономными. Таким образом, мы не можем ссылаться на принцип действия или уравнения Эйлера-Ланранжа, поскольку это просто приводит к круговым рассуждениям.
@joshphysics Вот видите! В конце концов, физика супердетерминистична!
Или хотя бы один человек суперпредсказуем :)

Qмеханик · Answer 1

Рассмотрим нерелятивистскую ньютоновскую задачу $N$ точечные частицы с позициями

\begin{matrix} (1) & р_{я} (д, т), я е {1, \dots, Н}, \end{matrix}

${\bf r}_i(q,t), \qquad i\in\{1, \ldots, N\},\tag{1}$

с обобщенными координатами $q^1, \ldots, q^n$ , а также $m=3N-n$ голономные ограничения .

Предположим для простоты, что приложенная к системе сила имеет обобщенный (возможно, зависящий от скорости) потенциал $U$ . (Это, например, исключает силы трения, пропорциональные скорости.)

Тогда можно вывести следующее ключевое тождество

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} \sum_{я знак равно 1}^{Н} (Ф_{я} - {\dot{п}}_{я}) \cdot (дельта р_{я} - \frac{\partial р_{я}}{\partial т} дельта т) знак равно & \sum_{я знак равно 1}^{Н} (Ф_{я} - {\dot{п}}_{я}) \cdot \sum_{Дж знак равно 1}^{н} \frac{\partial р_{я}}{\partial д^{Дж}} дельта д^{Дж} \\ знак равно & \sum_{Дж знак равно 1}^{н} (\frac{\partial л}{\partial д^{Дж}} - \frac{г}{г т} \frac{\partial л}{\partial {\dot{д}}^{Дж}}) дельта д^{Дж}, \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align}\sum_{i=1}^N \left({\bf F}_i-\dot{\bf p}_i\right)\cdot \left(\delta {\bf r}_i - \frac{\partial {\bf r}_i}{\partial t}\delta t\right) ~=~& \sum_{i=1}^N \left({\bf F}_i-\dot{\bf p}_i\right)\cdot \sum_{j=1}^n\frac{\partial {\bf r}_i}{\partial q^j}\delta q^j\cr ~=~& \sum_{j=1}^n \left(\frac{\partial L}{\partial q^j}-\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^j} \right) \delta q^j,\end{align} \tag{2}$

куда

\begin{matrix} (3) & п_{я} знак равно м в_{я}, в_{я} знак равно {\dot{р}}_{я}, л знак равно Т - U, Т знак равно \frac{1}{2} \sum_{я знак равно 1}^{Н} м_{я} в_{я}^{2} . \end{matrix}

${\bf p}_i~=~m{\bf v}_i, \qquad {\bf v}_i~=~\dot{\bf r}_i, \qquad L~=~T-U,\qquad T~=~\frac{1}{2}\sum_{i=1}^Nm_i {\bf v}_i^2. \tag{3}$

Здесь $\delta$ обозначает произвольную бесконечно малую $^1$ смещение в $q$ песок $t$ , что соответствует ограничениям. Таких перемещений бесконечно много $\delta$ .

Фактическое смещение (т.е. то, которое реально реализуется) как раз одно из смещений с $\delta t >0$ .

Напротив, виртуальное перемещение $\delta$ имеет по определению

\begin{matrix} (4) & дельта т знак равно 0. \end{matrix}

$\delta t~=~0. \tag{4}$

Ось времени принято называть горизонтальной, а $q^j$ направления как вертикальные. Тогда мы можем сказать, что виртуальное смещение является вертикальным (4), а фактическое смещение — никогда.

Обратите внимание, что оба lhs. и правая сторона. экв. (2) эффективно не зависят от $\delta t$ .

Мы можем выбирать между следующими основными принципами:

\begin{matrix} (5) & Принцип Даламбера \Leftrightarrow уравнения Лагранжа \Leftrightarrow Стационарный принцип действия . \end{matrix}

$\text{D'Alembert's principle } \Leftrightarrow \text{ Lagrange equations }\Leftrightarrow\text{ Stationary action principle}. \tag{5}$

I) С одной стороны, принцип Даламбера гласит, что

\begin{matrix} (6) & \sum_{я знак равно 1}^{Н} (Ф_{я} - {\dot{п}}_{я}) \cdot дельта р_{я} знак равно 0 \end{matrix}

$\sum_{i=1}^N \left({\bf F}_i-\dot{\bf p}_i\right)\cdot \delta {\bf r}_i~=~0 \tag{6}$

для всех виртуальных перемещений $\delta$ удовлетворяющее ур. (4). Это равносильно тому, что говорят, что lhs. экв. (2) обращается в нуль при произвольных (не обязательно вертикальных) смещениях. Тогда уравнения Лагранжа

\begin{matrix} (7) & \frac{\partial л}{\partial д^{Дж}} - \frac{г}{г т} \frac{\partial л}{\partial {\dot{д}}^{Дж}} знак равно 0 \end{matrix}

$\frac{\partial L}{\partial q^j}-\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^j}~=~0\tag{7}$

следует через ур. 2) из того, что виртуальные перемещения $\delta q^j$ в обобщенных координатах не ограничены и произвольны.

И наоборот, когда уравнения Лагранжа. (7) выполнены, то левые. экв. (2) исчезает. Это приводит к принципу Даламбера (6) для вертикальных перемещений. Это не приводит к принципу Даламбера (6) для невертикальных перемещений.

II) С другой стороны, если мы интегрируем правую часть. экв. (2) со временем $t$ , мы получаем (после отбрасывания граничных членов) бесконечно малую виртуальную/вертикальную вариацию

\begin{matrix} (8) & дельта С знак равно \int г т \sum_{Дж знак равно 1}^{н} (\frac{\partial л}{\partial д^{Дж}} - \frac{г}{г т} \frac{\partial л}{\partial {\dot{д}}^{Дж}}) дельта д^{Дж} \end{matrix}

$\delta S ~=~ \int \! \mathrm dt \sum_{j=1}^n \left(\frac{\partial L}{\partial q^j}-\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^j} \right) \delta q^j\tag{8}$

действия $S= \int \!\mathrm dt~L$ . Тогда принцип стационарного действия дает уравнения Эйлера-Лагранжа (7).

III) Наконец, подчеркнем следующие моменты:

Обратите внимание, что в обоих случаях (I) и (II) свобода выполнять произвольные виртуальные смещения или виртуальные вариации — это то, что позволяет нам вывести уравнения Лагранжа. (7).
Обратите внимание, что в обоих случаях (I) и (II) смещения являются вертикальными (4), т.е. нет горизонтального изменения $\delta t$ .

Использованная литература:

Г. Гольдштейн, Классическая механика, главы 1 и 2.

--

$^1$ Все смещения и вариации в этом ответе неявно предполагаются бесконечно малыми.

"Это, например, исключает силы трения, пропорциональные скорости" - почему? Если мы рассматриваем потенциал, зависящий от скорости, мы действительно хотим включить эти силы, не так ли?
@Kazz8: Да, мы разрешаем потенциалы, зависящие от скорости . $U$ . И Нет, сила трения ${\bf F}_f= -k{\bf v}$ не имеет потенциала, зависящего от скорости $U$ . См., например , этот ответ Phys.SE и текст вокруг уравнения. (1.67) у Гольдштейна.

фрейд · Answer 2

Условия виртуальных перемещений, а также соответствующие им виртуальные работы используются для того, чтобы при этих перемещениях все действующие силы оставались неизменными. Реальные перемещения обычно дополняются изменениями сил.

Виртуальное перемещение коллинеарно результирующей силе и ускорению частицы. Теперь представим, что, если РЕАЛЬНОЕ смещение перпендикулярно силе (это возможно, если силы меняются). В этом случае направление ускорения определить невозможно. Виртуальное перемещение является векторной величиной и не является произвольным.

Так почему же нам «нужно», чтобы силы были одинаковыми?
Короткий ответ: найти реальные ускорения в момент времени. Виртуальное перемещение коллинеарно результирующей силе и ускорению частицы. Теперь представим, что, если РЕАЛЬНОЕ смещение перпендикулярно силе (это возможно). В этом случае направление ускорения определить невозможно.

Ларри Харсон · Answer 3

Отвечая на ваши пункты:

Виртуальные перемещения используются потому, что без них теорема была бы бесполезна при выводе полезных уравнений движения. С ними мы можем вывести $N-m$ независимых дифференциальных уравнений движения, где $N$ - количество неограниченных степеней свободы, $m$ количество ограничений.
Виртуальное смещение — это смещение, которое не обязательно имеет место в задаче, но предполагается, что оно имеет место, но при этом остается совместимым с ограничениями. Даже в статической задаче с шариком на дне сферического колодца любое воображаемое перемещение является виртуальным с замороженным временем, потому что в действительности оно зафиксировано на дне.
Значение выражения с реально происходящими смещениями будет равно нулю, так как виртуальные смещения могут иметь место в любом направлении, совместимом с ограничениями задачи

Питер · Answer 4

объявление 3.) Если ваши ограничения не зависят от времени, это соответствует работе, которую силы ограничений выполняют для фактического развития вашей системы во времени. Если вы хотите, чтобы это выражение обращалось в нуль для всех возможных перемещений, вы требуете, чтобы силы связи не могли выполнять работу при любом возможном перемещении.

Принцип Даламбера: необходимость виртуальных перемещений

Сандеш Калантре

джошфизика

Тримок

Тримок

Сандеш Калантре

Селена Рутли

Qмеханик

Ответы (4)

Qмеханик

pppqqq

Qмеханик

фрейд

Сандеш Калантре

фрейд

Ларри Харсон

Питер

Путаница с виртуальными смещениями

Вывод уравнений Эйлера-Лагранжа из принципов Гамильтона и Даламбера

Что такое множители Лагранжа относительно голономных ограничений в классической механике?

Есть ли в классической механике примеры, когда принцип Даламбера не работает?

Гамильтоновы системы без соответствующей лагранжевой системы

Вывод уравнений Эйлера-Лагранжа для обобщенных координат без «виртуальной работы»?

Подразумевает ли ньютоновское F=maF=maF=ma принцип наименьшего действия в механике?

Уравнения Лагранжа для неголономной моногенной системы

Почему мы можем предполагать независимые переменные при использовании множителей Лагранжа в неголономных системах?

Когда действует принцип виртуальной работы?