Природа «зарядовой» константы связи в КЭД

Я пытаюсь понять классическую калибровочную теорию с дифференциально-геометрической точки зрения, но есть кое-что, чего я особо не понимаю.

Я думаю, что наиболее подходящий ответ на вопрос, почему мы обычно рассматриваем$\text{U}(1)$Связность КЭД (а также любой другой калибровочной связности) как связность на главном расслоении в отличие от векторного расслоения состоит в том, что любое поле, инвариантное относительно$\text{U}(1)$преобразование будет взаимодействовать с тем же электромагнитным полем$A_\mu$. Сложные скалярные поля, поля Дирака, поля кварков и т. д., они взаимодействуют с одним и тем же фотонным полем.$A_\mu$. Если бы мы рассмотрели$A_\mu$быть формой связности связности на векторном расслоении, сечения которого являются комплексными скалярными полями, то у нас не было бы никакой гарантии, что$A_\mu$поля Дирака будет представлять одно и то же поле.

Если мы рассматриваем связь как находящуюся в основном расслоении, то она индуцирует связи на всех связанных векторных расслоениях, поэтому, если мы рассматриваем векторные расслоения заряженных скалярных полей, полей Дирака, кварковых полей и т. д. как связанные векторные расслоения одинокий$\text{U}(1)$основной комплект, то эта проблема исчезла.

Проблема:

Рассмотрим поле электрона$\psi_e$, а связь, действующая на эти поля как

$$D_\mu\psi_e=\partial_\mu\psi_e+\mathcal{A}_\mu\psi_e.$$

Поле$\mathcal{A}_\mu$является$\mathfrak{u}(1)$-значное поле, и мы можем определить$\mathfrak{u}(1)$с$i\mathbb{R}$, так что мы можем отделить мнимую единицу, а также константу связи, так как, черт возьми, нет, и мы получим$\mathcal{A}_\mu=iqA_\mu$, где$A_\mu$теперь является полем с реальным значением, и мы идентифицируем$q=-e$как заряд электрона.

Но если мы рассмотрим$\psi_u$поле для ап-кварка имеем

$$D_\mu\psi_u=\partial_\mu\psi_u+\tilde{\mathcal{A}}_\mu\psi_u,$$ и мы делаем раскол $\tilde{\mathcal{A}}_\mu=i\tilde{q}A_\mu$где сейчас $\tilde{q}=\frac{2}{3}e$это другой заряд.

Обычно мы идентифицируем электромагнитное поле как «реализованное» поле.$A_\mu$и мы можем считать, что они одинаковы для обоих$\psi_e$и$\psi_u$, но фактическое соединение форм$\mathcal{A}$и$\tilde{\mathcal{A}}$разные.

Вопрос:

В чем разница между этими двумя полями? Я имею в виду, если мы рассмотрим общую теорию относительности/риманову геометрию, то же самое$\text{O}(1,3)$связность на расслоении ортонормированных реперов индуцирует формы связности$\omega_{\mu\ \ b}^{\ a}$на касательном расслоении как$\nabla_\mu X^a=\partial_\mu X^a+\omega_{\mu\ \ b}^{\ a}X^b$и формы соединения$-\omega_{\mu\ \ b}^{\ a}$на кокасательном расслоении как$\nabla_\mu X_b=\partial_\mu X_b-\omega_{\mu\ \ b}^{\ a}X_a$, но это различие возникает естественным образом из требования коммутативности ковариантной производной со сокращениями.

В случае с$\psi_e$и$\psi_u$поля.

Конечно, я думаю, всемогущий ответ состоит в том, что электрон имеет заряд$-1$а верхний кварк имеет заряд$+2/3$и вот как это нужно сделать, но мне любопытно, есть ли более глубокий математический ответ.

Я знаю, что локальные формы связи зависят от того, как структурная группа представлена ​​на модельном слое связанных векторных расслоений, однако мы можем рассматривать «этальное пространство» полей верхних кварков как тройную прямую сумму «расслоения Дирака». с собой, и поэтому, если для расслоения Дирака дано представление на модельном слое, то существует очень естественное представление прямой суммы на «расслоении верхних кварков».

Означает ли это, что группа$\text{U}(1)$представлен на «расслоении верхних кварков» иначе, чем на «расслоении Дирака»? Если да, то чем отличаются эти два представления?