Почему ϕ→e−iα(x)ϕϕ→e−iα(x)ϕ\phi \to e^{-i\alpha(x)}\phi при калибровочном преобразовании Aµ→Aµ+∂µα(x)Aµ →Aμ+∂μα(x)A_{\mu} \to A_{\mu} + \partial_{\mu}\alpha(x)?

Мы просто говорим, что можем построить теорию, подтверждающую это, поэтому давайте просто объявим это истинным и посмотрим, что произойдет?

Да, это в принципе так. Но предположение не столь произвольно, как может показаться на первый взгляд. Не то чтобы люди ходили вокруг, пробуя различные трансформации, такие как$\phi \to \alpha(x) \phi$,$\psi \to \phi \sin \alpha(x)$и т. д., пока они случайно не наткнулись на преобразование$\phi \to e^{-i \alpha(x)} \phi$что соответствовало правильной феноменологии.

Калибровочные преобразования — забавные вещи, потому что, в отличие от (большинства) глобальных преобразований, они не являются реальными физическими процессами. Вы не можете нажать кнопку на своем экспериментальном приборе и заставить изучаемую систему подвергнуться калибровочному преобразованию, последствия которого вы затем сможете изучить эмпирически. Таким образом, вопрос о том, как физическая величина преобразуется при калибровочных преобразованиях, на самом деле не является эмпирическим вопросом.

Объединяющий принцип, побуждающий людей изучать частные одновременные преобразования$A_\mu \to A_\mu + \partial_\mu \alpha(x)$и$\phi \to e^{-i \alpha(x)}$заключается в том, что эта пара преобразований оставляет скалярную плотность лагранжиана КЭД

$$\mathcal{L} = -\frac{1}{4} F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} -\frac{1}{2} (\partial_\mu - i e A_\mu)\phi(x)\ (\partial^\mu - i e A^\mu)\phi(x)$$

инвариант при любом выборе функции$\alpha(x)$. [Эта конкретная форма лагранжиана была открыта не только путем проб и ошибок, но и путем «калибровки» теории с глобальной симметрией, но без калибровочных полей, посредством «минимальной связи» — простой замены всех частных производных полей заряженной материи в лагранжиан с «ковариантными производными». Это другая история.]

На бумаге это просто интересная математическая особенность этого конкретного лагранжиана. Но эмпирически лагранжианы для всех полей в Стандартной модели имеют эти особые формы, в которых они остаются инвариантными при этих преобразованиях, зависящих от произвольной функции пространства-времени. Более того, эти «локальные симметрии» необходимы как для (а) объяснения многих отношений между членами в этих лагранжианах (включая то, почему некоторые перенормируемые и иначе не вызывающие возражений члены полностью отсутствуют), так и (б) для предоставления (полуэвристических) объяснений того, как квантовать эти классические теории.

Поэтому, когда мы спрашиваем, «как конкретное поле преобразуется при калибровочных преобразованиях?», мы на самом деле имеем в виду «как оно должно преобразовываться, чтобы лагранжева плотность оставалась инвариантной при этом формальном преобразовании?» Если вы только что рассмотрели преобразование$A_\mu \to A_\mu + \partial_\mu \alpha(x)$без изменения$\phi$вообще, то лагранжиан не был бы инвариантным, потому что правило произведения частных производных на$\phi$выведет дополнительные термины. Так что это вообще не было бы калибровочным преобразованием, и было бы бессмысленно говорить, что$A_\mu$"преобразует" таким образом - такое утверждение не имело бы ни физического, ни математического содержания.

Вы можете представить себе другую теорию с лагранжианом

$$\mathcal{L} = -\frac{1}{4} F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} -\frac{1}{2} \partial_\mu \phi(x) \partial^\mu \phi(x).$$

Такая теория действительно была бы инвариантной относительно предлагаемого вами преобразования и технически была бы калибровочной теорией (отличной от КЭД). Но в этой теории$\phi$и$A_\mu$поля были бы полностью независимыми и вообще не взаимодействовали бы. Поскольку ваш экспериментальный аппарат предположительно состоит из полей материи$\phi$, было бы совершенно невозможно обнаружить калибровочное поле$A_\mu$в любом случае, и вы можете полностью игнорировать его существование.

«Или мы просто говорим, что можем построить теорию, подтверждающую это, поэтому давайте просто объявим, что это правда, и посмотрим, что произойдет?»

Именно это и происходит. Суть скалярной КЭД в том, что это теория фотона$A_\mu$и скаляр$\phi$которые оба преобразуются нетривиально при одной и той же локальной$U(1)$симметрия - это означает, что групповое действие определяется некоторой функцией$\alpha(x)$. Учебники показывают, что это, по сути, однозначно определяет теорию, по крайней мере, термины с размерностью$\leq 4$(легко записать взаимодействия, которые не имеют отношения к потокам RG).

Ваш второй вопрос более интересен: предположим, что$\phi$трансформировалось банально($\phi$имеет заряд 0), не мог бы ты еще написать что-нибудь интересное? Ответ положительный. Наше вдохновение таково: если$J_\mu$– сохраняющийся ток, то

$$\int\!d^4x\, A^\mu J_\mu$$ является калибровочно-инвариантным. Это легко проверить, так как под $A_\mu$вариант, который он читает $$\int\!d^4x\, (\partial_\mu \alpha(x))J_\mu = -\int\!d^4x\, \alpha(x)\partial^\mu J_\mu = 0.$$ Учитывая комплексный бозон $\phi$используя только массовый член, вы можете построить векторный оператор $$J_\mu = i (\phi \partial_\mu \bar{\phi} - \bar\phi \partial_\mu {\phi})$$ который, как вы можете доказать, является эрмитовым и сохраняется. Это, конечно, $U(1)$Noether current, но нас это сейчас не волнует. Таким образом, вы можете изучить действие $$L = - (F_{\mu \nu})^2 + |\partial_\mu \phi|^2 + m^2 |\phi|^2 + g A^\mu J_\mu$$ который, как мы только что доказали, инвариантен относительно $$A_\mu \to A_\mu + \partial_\mu \alpha(x)\,, \quad \phi \to \phi\,, \quad \bar\phi \to \bar\phi\,.$$

Это действие очень похоже на действие скалярной КЭД, с точностью до члена$A_\mu^2 |\phi|^2$. Причина в том, что$J_\mu$перестает быть четко определенным, если$\phi$превращается в$\exp(-i\alpha(x)) \phi$, так что есть заговор между кинетическим термином,$J^\mu A_\mu$срок и$A^2 |\phi|^2$термин, чтобы сделать все это калибровочно инвариантным. В этом прелесть скалярной КЭД.