Присоединенное представление группы Лоренца

Я подозреваю, что безупречный ответ WetSavannaAnimal слишком абстрактен и универсален, чтобы удовлетворить ОП. Позвольте мне немного опошлить его. Группа Лоренца имеет 6 образующих, поэтому ваша присоединенная репрезентация будет шестимерной репрезентацией, набором матриц 6x6, которые удовлетворяют той же алгебре Ли (коммутаторам), что и обычные матрицы 4x4, преобразующие фундаментальные (x, y, z, t ) 4-вектор. Кстати, обратите внимание, что форма кривизны (форма четности, инв. 2) группы Лоренца также является 6-мерной.

Напомним, что группу Лоренца можно записать в красивой форме , т. е. повороты .$J_i\equiv −\epsilon_{imn} M_{mn} /2$и повышает,$K_i\equiv M_{0i}$, так что$[J_m,J_n] = i \epsilon_{mnk} J_k$,$[J_m,K_n] = i \epsilon_{mnk} K_k$,$[K_m,K_n] = -i \epsilon_{mnk} J_k$.

Можно также отметить важное упрощение$[J_m +i K_m, J_n −i K_n]$, что позволяет свести алгебру Лоренца к su(2) ⊕ su(2) и эффективно обрабатывать связанные с ней представления.

Теперь рассмотрим шесть матриц 6x6 с 3 J+iK в верхнем левом подпространстве 3x3 этих 6x6 и 3 J-iK в нижнем правом блоке, натянутом на индексы 4,5,6. Оставьте индексы верхнего левого блока обычными 1,2,3; и переименовать индексы нижнего правого блока с 1,2,3 на 4,5,6. Тогда проявляются коммутационные соотношения и структурные константы$f_{mnl}$малочисленны, в основном$\epsilon_{ijk}$для индексов (1,2,3) или (4,5,6) и ноль в противном случае.

Итак, как вы, вероятно, узнали из SU(3), именно эти структурные константы f обеспечивают ваши матрицы 6x6 в сопряжении с одним из 3 индексов (принимающих 6 значений), определяющих конкретный генератор представленной группы Лоренца.

Каждая группа Ли имеет присоединенное представление. Я не уверен, из какого определения вы пришли к присоединенному представлению, но вот основное, которое, я уверен, вы увидите, всегда имеет смысл.

Подумайте о$C^1$путь$\sigma:[-1,1]\to\mathfrak{G}$через тождество в группе Ли$\mathfrak{G}$с$\sigma(0) =\mathrm{id}$и с касательной$X$там.

Теперь подумайте об общем члене группы$\gamma \in\mathfrak{G}$действовать на этом пути так, чтобы$\sigma(t) \mapsto \gamma^{-1} \sigma(t) \gamma$. Это тоже, естественно, путь через тождество и имеет трансформированную касательную$X^\prime$там. Это преобразование является линейным. Мы говорим, что группа «действует на своей собственной алгебре Ли$\mathfrak{g}$" таким образом и напишите преобразование$X\mapsto\gamma^{-1} X \gamma$. Это просто обозначение, но в матричной группе Ли это также буквальный матричный продукт. Возможно, тогда мы будем менее запутанно писать$X\mapsto {\rm Ad}(\gamma) X$, где линейное преобразование${\rm Ad}(\gamma)$созданный$\gamma$на алгебре Ли теперь является членом$GL(\mathfrak{g})$, группа обратимых линейных преобразований алгебры Ли$\mathfrak{g}$рассматривается как простое векторное пространство. Ассоциация

является гомоморфизмом, как легко показать. Это иногда называют присоединенным представлением группы Ли. Через большое представительство Ad Adjoint$\mathfrak{G}$отображается в новую группу Ли, на этот раз всегда матричную группу Ли, подгруппу$GL(\mathfrak{g})$.

Итак, теперь мы можем посмотреть на

Это тоже линейный оператор на$\mathfrak{g}$, хотя в общем и целом не обратимый. Действительно, можно без особых хлопот показать, что:

Таким образом, на самом деле большое Ad-присоединенное представление индуцирует гомоморфизм алгебр Ли$\rho^\prime:\mathfrak{g} \to {\rm Lie}(\rho(\mathfrak{G}))$. Это тоже гомоморфизм линейных пространств и, более того, гомоморфизм, сохраняющий скобки Ли. Таким образом, это гомоморфизм алгебры Ли, и его также называют присоединенным представлением (алгебры Ли). Мне нравится причудливо называть это маленьким присоединенным представлением.

Теперь вот для меня одно из самых красивых уравнений:

Это еще одно подтверждение того факта, что небольшая реклама учитывает скобки Ли. Но это также замаскированная форма идентичности Якоби . Ух ты! Это НАСТОЯЩЕЕ значение тождества Якоби: оно существует, поэтому присоединенное представление группы Ли, очевидно, очень простой и фундаментальной вещи, индуцирует гомоморфизм в соответствующих алгебрах Ли, который уважает скобки Ли. Все именно так, как мы и ожидали, и поэтому, если вы когда-либо проектируете вселенную, вы должны не забыть добавить личность Якоби! Напишите заметку для себя сейчас, чтобы не забыть! Теперь мои навыки LaTeX не позволяют рисовать коммутативную диаграмму по памяти, поэтому я надеюсь, что вы видите, что она довольно аккуратная и простая.

Еще пара интересных фактов. Ядро Big Ad — это центр группы Ли. Тогда ядро ​​маленькой рекламы является центром алгебры Ли. Итак, если группа Ли проста, т. е. не содержит нормальных подгрупп Ли, то не может быть непрерывного центра, аннулируемого гомоморфизмом. То же самое верно, если группа просто не имеет непрерывного центра по причинам, отличным от простоты. Таким образом, нет никаких кусочков алгебры Ли, которые были бы стерты. Тогда исходная группа Ли и образ большого Ad имеют точно такую ​​же алгебру Ли. Если далее в простой группе Ли нет дискретного центра и если группа связна, то группа Ли и образ присоединенного представления являются одной и той же группой Ли .

Хорошо. Итак, теперь давайте перейдем к группе Лоренца. Непрерывного центра нет, судя по коммутационным соотношениям. Поэтому алгебра Ли образа большого Ad в точности совпадает с алгеброй Ли группы Лоренца. В группе Лоренца также нет дискретного центра.$\ker(\rho) = \{\mathrm{id}\}$, поэтому по теореме о гомоморфизмах образ$SO(1,3)$под большим Ad-присоединенным представлением находится сама группа Лоренца.

Каждая группа имеет присоединенное представление. Если вы знаете дифференциальную геометрию, определить это несложно. Это карта:

$Ad: G \rightarrow Aut(G')$

Где$G$это группа и я пишу$G'$для ее алгебры Ли.

Точнее, он определяется через карту сопряжения:

$Cj: G \rightarrow Aut(G)$

Так$Cj(g): G \rightarrow G$

И мы устанавливаем$Cj(g).h := g^h = hgh^{-1}$

Таким образом, взятие касательного расслоения дает
$TCj(g): TG \rightarrow TG$

Таким образом, касательное пространство в точке тождества равно:$T_eCj(g):T_eG \rightarrow T_eG$

Но касательное пространство в единице любой группы Ли — это просто ее алгебра Ли. Следовательно, мы имеем,$T_eG = G'$и поэтому предыдущее:

$T_eCj(g): G' \rightarrow G'$

И устанавливаем:

$Ad(g) := T_eCj(g)$

Оказывается, что сопряженное отображение для$SU(2)$это просто карта с двойным покрытием$SO(3)$.