У меня есть простой гамильтониан с 4 состояниями, и я пытаюсь найти матричное представление (чтобы определить собственные значения энергии для системы); тем не менее, я продолжаю получать неправильную матрицу, поэтому я был бы признателен за помощь в определении концепции, которую я неправильно понимаю.
У нас есть, что гамильтониан определяется как:
ЧАС^"="∑п = 14Е0| п ⟩ ⟨ п | +∑п = 14Вт{ | п ⟩ ⟨ п + 1 | + | п + 1 ⟩ ⟨ п | − | 2 ⟩ ⟨ 3 | − | 3 ⟩ ⟨ 2 | }
Используя дистрибутивность суммы по пространству, образованному тензорным произведениемС4⊗С4
, мы имеем, что это можно записать так:
ЧАС^"="Е0∑п = 14| п ⟩ ⟨ п | +Вт{∑п = 14| п ⟩ ⟨ п + 1 | +∑п = 14| п + 1 ⟩ ⟨ п | −∑п = 14| 2 ⟩ ⟨ 3 | −∑п = 14| 3 ⟩ ⟨ 2 | }
Мы также можем уменьшить это, отметив, что:∑4п = 1к = 4 к
,∀ к ∈С4⊗С4
, и поэтому:
ЧАС^"="Е0∑п = 14| п ⟩ ⟨ п | +Вт∑п = 14| п ⟩ ⟨ п + 1 | +Вт∑п = 14| п + 1 ⟩ ⟨ п | −4Вт| 2 ⟩ ⟨ 3 | −4Вт| 3 ⟩ ⟨ 2 |
Если мы работаем в пространстве, где:
| п ⟩ знак равно {е^н0п ∈ { 1 , 2 , 3 , 4 }п ∉ { 1 , 2 , 3 , 4 }
Тогда у нас есть:
∑п = 14| п ⟩ ⟨ п | "="я4 × 4∧| 2 ⟩ ⟨ 3 | "="⎛⎝⎜⎜⎜0000000001000000⎞⎠⎟⎟⎟∧| 3 ⟩ ⟨ 2 | "="⎛⎝⎜⎜⎜0000001000000000⎞⎠⎟⎟⎟
И:
∑п = 14| п ⟩ ⟨ п + 1 | "="⎛⎝⎜⎜⎜0000100001000010⎞⎠⎟⎟⎟∧∑п = 14| п + 1 ⟩ ⟨ п | "="⎛⎝⎜⎜⎜0100001000010000⎞⎠⎟⎟⎟
Таким образом, мы имеем:
ЧАС^"="Е0я4 × 4+⎛⎝⎜⎜⎜0000Вт0000Вт0000Вт0⎞⎠⎟⎟⎟+⎛⎝⎜⎜⎜0Вт0000Вт0000Вт0000⎞⎠⎟⎟⎟−⎛⎝⎜⎜⎜0000004 Вт004 Вт000000⎞⎠⎟⎟⎟
Расширяясь, мы имеем:
ЧАС^"="⎛⎝⎜⎜⎜Е0Вт00ВтЕ0− 3 Вт00− 3 ВтЕ0Вт00ВтЕ0⎞⎠⎟⎟⎟
Что неверно, так как я знаю, что собственные значения равны{Е0± Вт}
, а гамильтониан можно записать в матричной форме как:
ЧАС^"="⎛⎝⎜⎜⎜Е0Вт00ВтЕ00000Е0Вт00ВтЕ0⎞⎠⎟⎟⎟
Однако я не уверен, где я сделал свою ошибку, каждый шаг кажется мне правильным?