Простое гармоническое движение. Каковы единицы измерения ω0ω0\omega_0?

А, хороший вопрос. Радиан на самом деле является «фальшивой единицей». Под этим я подразумеваю, что радиан определяется как отношение расстояния по окружности (длины дуги) к радиусу окружности — другими словами, это отношение одного расстояния к другому расстоянию. В частности, для угла в один радиан длина дуги$s$равен радиусу$r$, так что вы получаете

Единицы расстояния (метры или что-то еще) сокращаются, и оказывается, что «радиан» — это просто причудливое название для 1!

Между прочим, это также означает, что «степень» — это просто причудливое название числа.$\frac{\pi}{180}$, а "вращение" - это просто причудливое название числа$2\pi$.

Это фактически относится к редактированию вашего вопроса. Предположим, что у вас есть какой-то объект, колеблющийся с$\omega = \pi/4\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}} = 0.785\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}$, и вы хотели оценить его позицию через 10 секунд. Чтобы получить косинусный член, вы должны подставить числа, получив

а затем вы идете к таблице триггеров в радианах (или к своему калькулятору в радианном режиме) и ищете 7,85.

Однако предположим, что вы измеряли$\omega_0$в градусах в секунду, а не в радианах в секунду. Вместо этого вы бы

Если вы посмотрите это в таблице триггеров, выраженной в градусах, вы получите тот же ответ, что и$\cos(7.85)$. Почему? Помните, что единица измерения «градус» — это всего лишь код для$\pi/180$, так что это на самом деле равно

А также$450\times\frac{\pi}{180} = 7.85$, что просто$450^\circ$преобразованы в радианы. Итак, теперь у вас есть то же значение в косинусе,$\cos(7.85)$. Таблицы триггеров, перечисленные в градусах, уже имеют этот дополнительный коэффициент$\frac{\pi}{180}$встроены в них для вашего удобства; в основном, если вы посмотрите любое число$\theta$в таблице, в которой используются градусы, вы получаете на самом деле косинус (или синус, или что-то еще)$\theta\times\frac{\pi}{180}$.

Радианы — довольно забавная единица измерения с точки зрения размерного анализа: радианы безразмерны. Это означает, что рад/с и 1/с эквивалентны с точки зрения размерного анализа.

Один из способов думать об этом состоит в том, что угловые меры в радианах на самом деле являются просто отношениями одинаковых величин:$\theta$в радианах, по определению, отношение длины дуги окружности, стягивающей$\theta$к радиусу окружности. Так что радиан на самом деле метр на метр.

На практике, при выполнении размерного анализа в физике, это означает, что вы можете с дикой энергией вводить и выводить радианы из своих единиц измерения. Например, если окружность радиусом$r$вращается с угловой скоростью$\omega$, то скорость точки на ободе равна

В дополнение ко всем вышеупомянутым чрезвычайно хорошо написанным ответам, особенно Дэвида З. и Теда Банна, позвольте мне рассказать вам, как вы можете визуализировать происхождение$rad/s$в ваших размерах для$\omega_0$.

Прежде всего отметим, что простое гармоническое движение подобно равномерному движению по окружности. Чтобы увидеть, как это сделать, мы будем работать со специальным случаем, когда частица притягивается на расстояние$r$от среднего положения и отпущены, и мы запускаем наши часы, когда они проходят через свое среднее положение, т.е.$x=0$когда$t=0$. Таким образом, мы получаем уравнение движения в виде$x=r sin(\omega t)$.

Далее рисуем круг с радиусом$r$и центр в начале координат, и поместите частицу в$(r,0)$. Затем мы позволяем частице двигаться с постоянной угловой скоростью$\omega$.

Если мы теперь посмотрим на параметрические координаты частицы, когда она находится под углом$\theta$по оси X мы получаем его текущее положение. Сосредоточив внимание только на координате Y, мы видим, что она соответствует$y=r sin\theta$, или с точки зрения$\omega$, у нас есть$y=r sin(\omega t)$. Хм... выглядит почти как уравнение из второго абзаца. На самом деле, если мы посмотрим на другую частицу, которая может двигаться только вдоль оси Y и соединена с этой частицей, она на самом деле совершает то же самое простое гармоническое движение, которое мы имели с нашей пружинной системой. Таким образом, равномерное круговое движение в точности аналогично простому гармоническому движению, и, применяя эту аналогию к нашим уравнениям, мы видим, что$\omega$может быть определена как угловая скорость частицы и имеет размеры$rad/sec$(поскольку$\omega$по определению$d\theta/dt$).

Но при занятиях физикой на самом деле лучше иметь аргументы тригонометрических функций безразмерными. Почему? Взгляните на сериал о Тейлоре.$cos$функция может помочь:

В РГО первый срок$1$является безразмерным. По свойству размерного анализа все аддитивные термины должны иметь одинаковые размерности и, следовательно, должны быть безразмерными. Таким образом,$x$должно быть безразмерным, и это аргумент функции косинуса. Отсюда и требование.

PS: Было время, когда физики фактически допускали угловую частоту $\omega$иметь размеры$rad/sec$, чтобы отличить его от нормальной частоты $\nu$или же$f$размером$1/sec$. Но в настоящее время более естественно использовать$\omega$для всех частотных целей, потому что он более естественно вписывается в квантовую механику, преобразования Фурье, специальную теорию относительности и т. д.

Важность радианов «не» в его размерах. Необходимо упомянуть, является ли$\omega_0$выражается в радианах/сек (а не только в 1/сек), потому что углы могут быть выражены в различных единицах - градусах, радианах и т. д. (все они безразмерны), и если мы не знаем, в какой единице$\omega_0$выражается, мы не можем выполнять над ним математические операции, такие как нахождение его синуса или косинуса и т . д.
Например:$sin(60^o)$, где 60 в градусах, полностью отличается от$sin(60^r)$где 60 в радианах. Итак, «очень» важно всегда упоминать$\omega_0$в радианах/сек, а не только 1/сек.

(Вот почему$\omega_0$называется угловой частотой, а не просто частотой, хотя обе они имеют одинаковые размеры.)

$\cos{(w_0t)}$будет решением данного уравнения с$w_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$только если$\frac{d}{dx}\cos{x}=-\sin(x)$, что будет только в том случае, если$x$измеряется в радианах. Если$x$в единицах градусов или градах будет безразмерная константа преобразования,$\frac{d}{dx}\cos{x}=-C\sin(x)$. Соглашение о том, что мы используем радианы, настолько естественно с геометрической точки зрения, что почти запрограммировано для математиков и физиков. Я думаю, что два ответа, появившиеся сразу после того, как я начал писать это, в принципе неверны, чтобы принять 1 радиан = 1, но на практике безразмерная единица измерения радиана вряд ли вызовет у вас проблемы. Тем не менее, есть причина, по которой это международный стандарт. Хороший вопрос.

РЕДАКТИРОВАТЬ: я не совсем доволен вышеизложенным. Это зависит от того, определяем ли мы $\cos{}$чтобы сопоставить угол с безразмерным отношением или сопоставить безразмерные числа с безразмерным отношением. Второе определение сделало бы предыдущие ответы правильными, а меня — нет.

РЕДАКТИРОВАТЬ (2): вместо того, чтобы писать$\sin{(60^o)}$или же$\sin{(\frac{60\pi}{180}^r)}$, мы могли бы написать$\sin^{[o]}(60)$или же$\sin^{[r]}(\frac{60\pi}{180})$. Когда мы используем таблицу синусов, мы проверяем, является ли это функцией синуса градусов или функцией синуса радианов, а затем присваиваем ей номер$60$или номер$\frac{60\pi}{180}$по мере необходимости. Существуют различные синусоидальные функции, которые связаны между собой линейными преобразованиями своих аргументов. Если включить переводы, то$\cos$также становится другой синусоидальной функцией.

Я считаю полезным использовать рад в единицах, чтобы понять эти механические свойства:

Единица жесткости k для торсионной пружины (заводной пружины) равна Нм, но назовите ее (Нм)/рад, и ее будет легче понять: «Момент на угол».

Кроме того, Nm «формально» совпадает с J, и из-за этого его трудно отличить от крутящего момента, особенно когда работа связана с вращательным движением. Тогда это помогает думать о Джоуле как о Нмрад, что означает «крутящий момент, умноженный на угол поворота», аналог того, как работа от линейного движения - это «сила, умноженная на пройденное расстояние».

Я бы никогда не назвал Джоуля иначе, чем J в документации, это просто помогает думать об этом таким образом.

Просто мысль, рад, конечно, "1" и может быть опущен по желанию. Я не понимаю, как исключение радов может привести к путанице со степенями. В инженерии градусы используются как единица все время, но никогда без маленького знака градуса °.

Радианы - это единица измерения угла в тригонометрическом смысле, что приводит к повторению с вращением (циклами и оборотами). Существуют и другие единицы измерения угла, например градус.

SI определила радиан как свою базовую единицу, а затем дала ему название «дополнительная единица», чтобы выйти из тупика между фракциями. В те дни расчеты часто выполнялись ручкой и бумагой, а размерный анализ был разделен (исчисление) и выполнялся отдельно. Некоторые даже предложили взять тангенс 12 дюймов! (так говорит исчисление).

Проблема в том, что базовая единица счетчика не является измерением. Скорее это мера в трехмерном пространстве.

Это означает, что вы можете разделить одно измерение на другое другое измерение (например, высоту, направление силы тяжести, ширину) и получить явно безразмерное число.

Концепция «углового измерения» — это просто способ записи того, что раньше у нас было два измерения (Lx, Ly), а теперь у нас (не будет) ни одного.

Мы бы никогда не позволили отменить Temperature / Time только потому, что они имеют начальную букву T.

Многие современные системы компьютерной алгебры (Mathcad, Mathematica, Maple) справляются с автоматическим преобразованием единиц измерения и проверяют полученные размеры с масштабированием для поддержки многих научных и инженерных расчетов. Однако все они поставлены в тупик Torque vs Work, потому что модуль Angle отсутствует. Проблема крутящего момента распространяется и на механические CAD-системы.

Возможность маркировать и проверять кажущиеся «безразмерными» числа — это печальная потеря.

3 Маха + 4 радиана = 7 Рейнольдсов.

Также обратите внимание, что в математике вообще нет именованных измерений, так что не позволяйте им говорить вам эту часто повторяемую мантру «Очевидно, что все углы в радианах» без малейшего размышления и вызова.

Например, посмотрите алгоритм Cordic, который определяется на восьмерке поворота (45 градусов), где tan(45deg)=1, какое удобство! (т.е. обычный sin(x)=x+.. просто еще одно удобство!)