Понимание поперечных колебаний в системах с 1 массой и 2 пружинами

Question

Понимание поперечных колебаний в системах с 1 массой и 2 пружинами

пользователь5831519

В последнее время я работал над некоторыми хорошими проблемами в системах с масс-пружиной. Существует множество различных конфигураций — несколько масс, несколько пружин, параллельные/последовательные и т. д.

Несколько возможных конфигураций перечислены здесь: https://ccrma.stanford.edu/CCRMA/Courses/152/vibrating_systems.html . Я думаю, что наиболее интересной является система с 1 массой и 2 пружинами с поперечным движением:

На этой странице написано:

«Если пружины изначально сильно растянуты от их длины в расслабленном состоянии (но не деформированы), частота колебаний будет почти такой же, как и при продольных колебаниях.

Если пружины изначально очень мало растянуты от их расслабленной длины, «собственная» частота будет намного ниже, а колебания будут нелинейными (несинусоидальными) для всех, кроме самых маленьких из них. $y$ - смещения осей».

Если я правильно понимаю, это означает, что система приближается к простому гармоническому движению, когда начальное смещение $y_0$ либо очень маленький, либо очень большой.

Я попытался посмотреть, смогу ли я доказать это сам, рассматривая период колебаний как функцию начального смещения. $y_0$ , но у меня возникли проблемы:

Предположим, что масса - это расстояние $\Delta y$ из положения равновесия. Тогда каждая пружина имеет длину $\sqrt {a^2+\Delta y^2}$ , поэтому каждая пружина растягивается на $\sqrt {a^2+\Delta y^2}-a$ от его первоначальной длины. Таким образом, каждая пружина оказывает возвращающую силу $k(\sqrt {a^2+\Delta y^2}-a)$ . Тогда величина чистой возвращающей силы на массу равна

$|F_r|=2k(\sqrt {a^2+\Delta y^2}-a)\sin(\theta)=2k(\Delta y-a\sin(\theta))$

Замена $\sin(\theta)=\Delta y/\sqrt {a^2+\Delta y^2}$ , мы получаем:

$|F_r|=2k\Delta y(1-a/\sqrt {a^2+\Delta y^2})$

Итак, имеем дифференциальное уравнение:

$y''=-(2k/m)y(1-a/\sqrt {a^2+y^2})$ .

Если $y$ очень велико, то $y''\approx -(2k/m)y$ , представляющее собой простое гармоническое движение с периодом $2\pi\sqrt{2k/m}$ . Это имеет смысл, потому что если $y$ очень большой, две пружины действуют параллельно, поэтому мы эффективно имеем систему с одной пружиной, совершающую продольное движение с жесткостью пружины. $2k$ , что дает тот же результат.

Сейчас если $y$ очень мал, я не уверен, какие формулы аппроксимации использовать, чтобы все получилось хорошо. Согласно веб-странице, я должен получить результат, что период будет больше, чем $2\pi\sqrt{2k/m}$ .

Кнчжоу

Это кварцевый осциллятор. Я не думаю, что аналитическое решение существует, но вы можете показать, что его период больше, просто увидев, что восстанавливающая сила всегда меньше, чем у эквивалентного гармонического осциллятора.

Ответы (2)

Понимание поперечных колебаний в системах с 1 массой и 2 пружинами

Это кварцевый осциллятор. Я не думаю, что аналитическое решение существует, но вы можете показать, что его период больше, просто увидев, что восстанавливающая сила всегда меньше, чем у эквивалентного гармонического осциллятора.

Флорис · Answer 1

Я думаю, вы неправильно понимаете, что они имеют в виду

Если пружины изначально растянуты очень мало от их расслабленной длины

Вы понимаете, что это означает «большое отклонение от равновесия», но я думаю, что это означает «обе пружины находятся под напряжением в равновесии». В этом случае возникает значительное напряжение $T$ без водоизмещения и для малых водоизмещений $y$ восстанавливающая сила приблизительно равна

Ф знак равно Т грех θ \approx Т \frac{у}{а}

$F = T \sin\theta \approx T ~\frac{y}{a}$

Потому что $T$ не сильно изменится, если было совсем немного начального напряжения, система будет линейной.

Однако если начальное натяжение мало, то восстанавливающая сила будет в основном за счет дополнительного растяжения пружины. В случае нулевого начального натяжения восстанавливающая сила (при малых перемещениях) определяется выражением

\begin{aligned} Ф & знак равно к (\sqrt{у^{2} + а^{2}} - а) грех θ \\ знак равно к а (\sqrt{1 + \frac{у^{2}}{а^{2}}} - 1) \frac{у}{а} \\ \approx \frac{к у^{3}}{2 а^{2}} \end{aligned}

$\begin{align}\\ F &= k\left(\sqrt{y^2+a^2}-a\right)\sin\theta\\ &=ka\left(\sqrt{1+\frac{y^2}{a^2}}-1\right)\frac{y}{a}\\ &\approx\frac{ky^3}{2a^2} \end{align}$

Поэтому, когда увеличение напряжения из-за бокового смещения является значительным, движение становится нелинейным.

ОБНОВИТЬ

Мы можем посмотреть на это как для горизонтального, так и для вертикального смещения. Предположим, что длина пружины в нерастянутом состоянии равна $L_0$ , а растянутая длина (в равновесии) равна $L\gg L_0$ . Если мы сместим на небольшую величину $dx$ по горизонтали и небольшое количество $dy$ вертикально (оба $\ll LL$ ), то мы можем вычислить горизонтальные и вертикальные силы, действующие на массу.

Сначала вычисляем новую длину пружины. Это будет

л_{1} знак равно \sqrt{(л + г Икс)^{2} + г у^{2}}

$L_1 = \sqrt{(L+dx)^2+dy^2}$

для пружины слева и

л_{2} знак равно \sqrt{(л - г Икс)^{2} + г у^{2}}

$L_2 = \sqrt{(L-dx)^2+dy^2}$

для пружины справа.

Чистая сила, действующая на массу, определяется горизонтальной и вертикальной составляющими натяжения пружины.

Для горизонтальной составляющей заметим, что

Ф_{Икс} знак равно Т_{1} потому что α_{1} - Т_{2} потому что α_{2}

$F_x = T_1 \cos\alpha_1 - T_2\cos\alpha_2$

для малых углов это упрощается до

Ф_{Икс} знак равно Т_{1} - Т_{2} знак равно к л [{({((1 + \frac{г Икс}{л})}^{2} + {(\frac{г у}{л})}^{2})}^{1 / 2} - {({((1 - \frac{г Икс}{л})}^{2} + {(\frac{г у}{л})}^{2})}^{1 / 2}] \approx 2 к г Икс

$F_x = T_1 - T_2\\ = kL\left[\left(\left((1+\frac{dx}{L}\right)^2+\left(\frac{dy}{L}\right)^2\right)^{1/2}-\left(\left((1-\frac{dx}{L}\right)^2+\left(\frac{dy}{L}\right)^2\right)^{1/2}\right]\\ \approx 2kdx$

Для вертикальной составляющей силы аппроксимируем сумму $T_1$ а также $T_2$ , и находим, что она меняется только с более высокими порядками $dx$ а также $dy$ - так и считаем( $T_1+T_2$ ) постоянная для малых перемещений. Вертикальная сила $F_y = 2T\sin\alpha\approx 2T\frac{dy}{L}$ тогда будет зависеть только от $dy$ а не на $dx$ . Таким образом, горизонтальные и вертикальные колебания будут независимыми и линейными.

Зор Шехтман · Answer 2

См. лекцию на http://www.unizor.com в разделе Physics 4 Teens > Waves > Transverse Waves > Musical Strings 1 . Он моделирует музыкальную струну (например, струну на скрипке) с помощью описанной вами модели. Это объясняет, почему колебания с небольшим вертикальным отклонением близки к гармоническим. Угловая частота $\omega$ этих колебаний

ю^{2} знак равно \frac{2 κ}{[м (1 + л / л)]}

$\omega^2 = \frac{2κ}{[m(1+L/l)]}$ куда

k

$k$ - эластичность струны,

m

$m$ - масса,

L

$L$ - длина в нейтральном состоянии,

l

$l$ - начальная растяжка для создания напряжения.

В частности, из этой формулы видно, что чем выше начальное натяжение (больше начальное растяжение $l$ ), тем выше угловая частота $\omega$ , то есть более высокий тон звука, производимого струной.

Понимание поперечных колебаний в системах с 1 массой и 2 пружинами

пользователь5831519

Кнчжоу

Ответы (2)

Флорис

Зор Шехтман

Каково значение зажима центра пружины?

Пружинно-массовая система со сложной жесткостью пружины

Эффективная масса в системе Spring-with-mass/mass

Простое гармоническое движение массы, прикрепленной к вертикальной пружине

Пружина-масса-маятник "по законам Ньютона"

Экспериментальный результат не может быть объяснен теорией для системы масс 2 Spring 1

Положение двух блоков, соединенных пружиной, в зависимости от времени

Простая система гармонических осцилляторов и изменение ее полной энергии

Доказательство простого гармонического движения (направление ускорения)

Пружина с изменяющимся равновесием