Проверка алгебры Пуанкаре

Question

Проверка алгебры Пуанкаре

Физика
алгебра лжи
симметрия Пуанкаре
специальная теория относительности
групповые представления

человек дождя

Образующие группы Пуанкаре $P(1;3)$ предполагается, что они подчиняются следующему коммутационному соотношению, которое необходимо проверить:

[М^{мю ν}, п^{р}] "=" я (г^{ν р} п^{мю} - г^{мю р} п^{ν})

$\left[ M^{\mu\nu}, P^{\rho} \right] = i \left(g^{\nu\rho} P^{\mu} - g^{\mu\rho} P^{\nu} \right)$

где $M^{\mu\nu}$ являются 6 генераторами группы Лоренца и $P^\mu$ являются 4 образующими группы четырехмерного перевода $T(4)$ .

Для $\mu = 3, \nu=1, \rho=0$ LHS становится: $[M^{31},P^{0}] = M^{31}P^{0} - P^{0}M^{31}$ .

Здесь $M^{31} = J^2 = -J_2= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & i & 0 & 0 \end{pmatrix}$ и $P^0 = P_0 = -i \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ .

Мой вопрос в том, как я могу умножить $M^{31}$ и $P^0$ когда они $4\times4$ и $5\times 5$ матрицы соответственно?

Докс

На самом деле вам нужно заполнить

M_{a b}

$M_{ab}$ образующие с нулями для завершения 5-й строки и столбца.

Qмеханик

Связанный с этим вопрос от OP: physics.stackexchange.com/q/127559/2451

человек дождя

@Dox: я подумал:

(x^{0}, x^{1}, x^{2}, x^{3}) \to (x^{0} + b^{0}, x^{1} + b^{1}, x^{2} + b^{2}, x^{3} + b^{3})

$(x^0, x^1, x^2, x^3) \rightarrow (x^0 + b^0, x^1+b^1, x^2+b^2, x^3+b^3)$ . Затем примените это преобразование к умножению матриц, а затем используйте формулу, чтобы найти генераторы

P_{μ} = g_{μ ν} P^{ν}

$P_\mu=g_{\mu\nu}P^\nu$ . Что еще я мог сделать, чтобы определить

P_{μ}

$P_\mu$ правильно?

человек дождя

@Qmechanic: да, я задал этот вопрос. Я был в глубоком замешательстве!

Ответы (1)

Проверка алгебры Пуанкаре

На самом деле вам нужно заполнить $M_{ab}$ образующие с нулями для завершения 5-й строки и столбца.
Связанный с этим вопрос от OP: physics.stackexchange.com/q/127559/2451
@Dox: я подумал: $(x^0, x^1, x^2, x^3) \rightarrow (x^0 + b^0, x^1+b^1, x^2+b^2, x^3+b^3)$ . Затем примените это преобразование к умножению матриц, а затем используйте формулу, чтобы найти генераторы $P_\mu=g_{\mu\nu}P^\nu$ . Что еще я мог сделать, чтобы определить $P_\mu$ правильно?
@Qmechanic: да, я задал этот вопрос. Я был в глубоком замешательстве!

Докс · Answer 1

Учитывать

М_{31} "=" (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - я & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & я & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) и п_{0} "=" - я (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}),

$M_{31} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -i & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & i & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \text{ and } P_0 = -i \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},$

Тогда коммутатор исчезает! Как и ожидалось от $\left[ M_{31}, P_{0} \right] = i \left(g_{10} P_{3} - g_{30} P_{1} \right) = 0$ .

Если вы возьмете

М_{01} "=" (\begin{matrix} 0 & я & 0 & 0 & 0 \\ я & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) и п_{0} "=" - я (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}),

$M_{01} = \begin{pmatrix} 0 & i & 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \text{ and } P_0 = -i \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},$ затем

[М_{01}, п_{0}] "=" - я (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) "=" п_{1} .

$\left[M_{01},P_0\right] = -i \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = P_1.$

И так далее!

Проверка алгебры Пуанкаре

человек дождя

Докс

Qмеханик

человек дождя

человек дождя

Ответы (1)

Докс

Унитарные неприводимые представления маленькой группы SO(3)SO(3)SO(3)

Генераторы групп Пуанкаре.

Эвристический вывод Wμ=12ϵμνσρPνJσρWμ=12ϵμνσρPνJσρW^\mu=\frac{1}{2}\epsilon^{\mu\nu\sigma\rho}P_\nu J_{\sigma\rho} с использованием комбинации физических и математических аргументов

Групповая компактность Ли от образующих

Нотация для генераторов групп трансляции

Неправильное использование J2J2\mathbf J^2 при классификации представителей Пуанкаре

Идентификация состояния типов частиц с представлениями группы Пуанкаре

Почему мы говорим, что неприводимое представление группы Пуанкаре представляет собой одночастичное состояние?

Какое матричное представление оператора импульса (генератора трансляций) используется в коммутаторах группы Пуанкаре?

Почему изучают представления группы Лоренца, а не только представления группы Пуанкаре?