Прямое измерение S2S2\mathbf S^2

Метод измерения наблюдаемой во многом зависит от конкретной рассматриваемой системы. Я предлагаю способ измерения$S^2$для конкретного примера системы, а именно, атома водорода.

Рассмотрим то, что мы обычно считаем основным состоянием атома водорода:$|n, l, m_l \rangle = |1, 0, 0\rangle$. Конечно, у электрона тоже есть спин:$s_e = 1/2$, как и единственный протон, из которого состоит ядро:$s_p = 1/2$. Сверхтонкое взаимодействие между ядерным спином$I = s_p = 1/2$и электронный спин$s_e = 1/2$дает другой собственный базис для полного гамильтониана, который выражается в терминах полного спина$F = s_e + I = s_e + s_p$(с учетом только$l=0$орбитальный).

Добавляя правила углового момента,$F$может принимать значение 0 или 1, и эти два состояния (синглетное или триплетное соответственно) расщепляются по энергии за счет сверхтонкого расщепления (соответствующего излучению 21 см ). Итак, теперь проблема измерения$F^2$сводится к определению того, на каком из двух энергетических уровней находится атом.$F^2$оператор нетривиален.

Вот проблема:$F=0$синглет имеет только один уровень:$|F = 0, m_F = 0\rangle$. С другой стороны, при другой энергии$F=1$триплет, который имеет три состояния:$|F=1, m_F=-1\rangle, |F=1, m_F = 0\rangle, |F=1, m_F = 1\rangle$. Следовательно, атом водорода может находиться в суперпозиции всех этих состояний:

$$|\psi\rangle = a|0, 0\rangle + b|1, -1\rangle + c|1, 0\rangle + d|1, 1\rangle$$

Если мы измерим$F^2$и найти$F = 0$(что происходит с вероятностью$|a|^2$), то проецируем состояние$|\psi\rangle \to |0, 0\rangle$.

Альтернативно, если мы измерим$F^2$и найти$F=1$(вероятность этого$1 - |a|^2$), то проецируем в состояние

$$|\psi\rangle \to \frac{1}{|b|^2 + |c|^2 + |d|^2} (b|1, -1\rangle + c|1, 0\rangle + d|1, 1\rangle$$

Итак, в контексте атома водорода есть один из способов сделать такое проективное измерение: настроить лазер на частоту, соответствующую разнице энергий между$|0, 0\rangle$состояние (в$|n, l, m_l\rangle = |1, 0, 0\rangle$) и некоторый более высокий энергетический уровень (например, уровень с$n = 2$). Примените лазер на короткое время к атому водорода и очень внимательно определите, испускает ли атом водорода спонтанно какой-либо фотон.

Если он излучает фотон, то верните атом в основное состояние.$|n,l,m_l\rangle = |1, 0, 0\rangle$и$|F, m_F\rangle = |0, 0\rangle$.

Если он не излучает фотон, то теперь вы спроецировали состояние атома только на часть состояний с$F = 1$.

Сочетая оба возможных результата, конечный результат теперь эквивалентен идеальному проективному измерению$F^2$о состоянии$|\psi\rangle$.

Примечание: на самом деле это не выполнимый эксперимент, поскольку одиночные спонтанно испускаемые фотоны очень трудно обнаружить, но он дает представление о том, как эти типы измерений могут быть выполнены на практике.