Является ли суперпозиция (анти)симметричных состояний (анти)симметричной?

Вот элегантный способ показать, что любая линейная комбинация (анти)симметричных состояний всегда (анти)симметрична. Мы используем здесь обозначения Дирака для состояний и предполагаем для простоты, что имеем дело с двухкомпонентной системой, так что состояния системы представляют собой линейные комбинации произведений$|\psi\rangle = |\psi_1\rangle|\psi_2\rangle$.

Сначала определим оператор обмена$P$о произведениях состояний как единственном линейном операторе, «переворачивающем» множители состояний произведения;

$$\begin{align} P|\psi_1\rangle|\psi_2\rangle = |\psi_2\rangle|\psi_1\rangle. \end{align}$$ Во-вторых, напомним, что состояние называется (анти) симметричным при условии, что на него действует оператор обмена $P$, оно умножается на $\pm$знак (+ для симметричного и - для антисимметричного); $$\begin{align} P|\psi\rangle = \pm|\psi\rangle. \end{align}$$ Теперь предположим, что $|\psi\rangle$и $|\phi\rangle$оба антисимметричны, то, применяя оператор обмена к любой их линейной комбинации, мы получаем $$\begin{align} P(a|\psi\rangle+b|\phi\rangle) &= aP|\psi\rangle + bP|\phi\rangle \\ &= a(\pm|\psi\rangle)+b(\pm|\phi\rangle) \\ &= \pm(a|\psi\rangle+b|\phi\rangle). \end{align}$$ Это показывает, что любая их линейная комбинация обладает тем свойством, что оператор обмена, действующий на эту линейную комбинацию, дает линейную комбинацию, умноженную на $\pm$знак, так что он также (анти) симметричен!

Дополнение. (Построение оператора обмена)

Выше мы определили оператор обмена как уникальный линейный оператор, действие которого на (тензорные) состояния произведения состоит в переключении факторов. То, что такой оператор существует и единственный, можно доказать следующим образом.

Пусть полное гильбертово пространство$\mathcal H\otimes \mathcal H$. Позволять$\{|n\rangle\}$быть основой для$\mathcal H$, то множество$\{|n\rangle|m\rangle\}$является основой для$\mathcal H\otimes\mathcal H$, так называемый базис тензорного произведения. Напомним, что линейный оператор определяется своим действием на любом базисе. Следовательно, существует единственный линейный оператор$P$на$\mathcal H\otimes\mathcal H$удовлетворение свойства

$$\begin{align} P|n\rangle|m\rangle = |m\rangle|n\rangle \end{align}$$ для всех пар $(n,m)$. Осталось показать, что $P$переключает тензорные факторы для любого состояния продукта $|a\rangle|b\rangle$. Это можно сделать, расширив состояние по каждому фактору, используя основу, которую мы использовали для определения $P$следующее: $$\begin{align} P|a\rangle|b\rangle &= P\left(\sum_na_n|n\rangle\sum_m b_m|m\rangle\right)\\ &= P\left(\sum_{nm}a_nb_m|n\rangle|m\rangle\right)\\ &= \sum_{nm}a_nb_m P|n\rangle|m\rangle\\ &= \sum_{nm}a_nb_m |m\rangle|n\rangle\\ &=\sum_mb_m|m\rangle\sum_n a_n|n\rangle\\ &= |b\rangle|a\rangle. \end{align}$$

Суперпозиция (анти)симметричных состояний всегда (анти)симметрична, но не обязательно разложима. Так что ваши

$$\frac{1}{2}[(\chi(A)\psi(B)\pm\psi(A)\chi(B))+(\phi(A)\eta(B)\pm\eta(A)\phi(B))]$$

можно представить в виде

$$\frac{1}{\sqrt2}(f(A,B)\pm f(B,A)).$$ но в большинстве случаев таких функций не было бы $f_1$, $f_2$что $f(A,B)=f_1(A)f_2(B)$.