Серия Сочетание весны

Поиск эквивалентной пружины и решение уравнения 1DOF — это кратчайший путь к более сложной проблеме. Итак, если вы хотите узнать о более сложном подходе, читайте дальше.

Задача является частным случаем общей задачи с двумя пружинами и двумя массами. Особый случай — когда одна из масс равна нулю.

Таким образом, общая проблема имеет массу$m_1$(черная точка) в конце$k_1$и$m_2$(серое поле) в конце$k_2$.

Уравнения движения в терминах положения масс $x_1$и$x_2$следующие:

$$\begin{aligned} m_1 \ddot{x}_1 & = -k_1 x_1 + k_2 (x_2-x_1) \\ m_2 \ddot{x}_2 & = -k_2 (x_2-x_1) \end{aligned} \tag{1}$$

_{Обратите внимание, что оператор использует$x_1$и$x_2$для растяжения пружины, и я использую эти переменные в качестве положений массы. Удлинение первой пружины равно$x_1$, но растяжение вторых пружин равно$x_2-x_1$.}

Любое решение вышеизложенного представляет собой суперпозицию двух собственных частотных характеристик системы. И есть стандартный способ решить эту проблему, используя собственные значения и собственные векторы и некоторую линейную алгебру.

Но в этом случае$m_1=0$что делает приведенные выше уравнения равными

$$\begin{aligned} 0 & = -k_1 x_1 + k_2 (x_2-x_1) \\ m_2 \ddot{x}_2 & = -k_2 (x_2-x_1) \end{aligned} \tag{2}$$

что делает их системой ДАУ (дифференциально-алгебраическими уравнениями). Здесь вы решаете первое уравнение для$x_1$и подставьте во второе уравнение.

$$m_2 \ddot{x}_2 = -\underbrace{\left( \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2} \right)}_{k_{\rm eq}} x_2 \tag{3}$$

Таким образом, решение такое же, как решение дифференциального уравнения 1DOF с точки зрения$x_2$используя эквивалентную пружину$k_{\rm eq}$. Отметим, что для каждого решения$x_2$значение$x_1$находится из (2) с

$$x_1 = \frac{k_2}{k_1+k_2} x_2 \tag{4}$$

---

Приложение I

Две собственные частоты общей системы равны

$$\begin{aligned} \omega_1^2 & = \frac{ \left( \tfrac{k_1+k_2}{m_1}+\tfrac{k_2}{m_2}\right) - \sqrt{ \left( \tfrac{k_1+k_2}{m_1}+\tfrac{k_2}{m_2}\right)^2 - \tfrac{4 k_1 k_2}{m_1 m_2}}}{2} \\ \omega_2^2 & = \frac{ \left( \tfrac{k_1+k_2}{m_1}+\tfrac{k_2}{m_2}\right) + \sqrt{ \left( \tfrac{k_1+k_2}{m_1}+\tfrac{k_2}{m_2}\right)^2 - \tfrac{4 k_1 k_2}{m_1 m_2}}}{2} \end{aligned} \tag{5}$$

Для случая, когда$m_1=0$тогда вышеуказанное становится

$$\begin{aligned} \omega_1^2 & = \pm \infty \\ \omega_2^2 & = \frac{\tfrac{k_1 k_2}{k_1+k_2}}{m_2} \end{aligned} \tag{6}$$

Приложение II

Уравнения движения в терминах растяжения пружины $x_1$и$x_2$являются

$$\begin{aligned} m_1 \ddot{x}_1 & = -k_1 x_1 - k_2 x_2 \\ m_1 \ddot{x}_1 + m_2 \ddot{x}_2 & = -k_2 x_2 \end{aligned} \tag{7}$$

с решением для$m_1=0$как

$$x_1 = \frac{k_2}{k_1} x_2$$ и

$$\ddot{x}_1+ \ddot{x}_2 = - \frac{k_2}{m_2} x_2$$

но с тех пор$x_1$является функцией$x_2$только затем$\ddot{x}_2 = \tfrac{k_2}{k_1} \ddot{x}_1$и уравнение 1DOF становится

$$\left( 1 + \frac{k_2}{k_1} \right) \ddot{x}_2 = - \frac{k_2}{m_2} x_2$$

что становится эквивалентным (3) при решении относительно$\ddot{x}_2$.

Как обычно, вам нужно 2 уравнения, чтобы решить задачу, содержащую 2 переменные. Я бы начал пытаться найти связь между$x_1$и$x_2$. Должен быть один, не так ли? Если вы потянете за один конец пружины, шарнир должен стабилизироваться в положении, пропорциональном$k_1$и$k_2$.

Намек на то, что соединение между пружинами также следует третьему закону Ньютона;)

В википедии предполагают, что мы можем написать$F=k_{eq}(x_1+x_2)$, Я не понимаю, откуда они знают, что ты вообще можешь это сделать.

Для меня это имеет смысл. Вы ищете поведение массы в конце. Масса движется за счет сил, действующих на нее со стороны пружин.

Суть эквивалентной жесткости пружины заключается в том, что она позволяет нам определить силу пружинной системы, упрощая несколько пружин в одну пружину, которая создает ту же силу при одинаковом смещении массы, поэтому путем решения поведения эквивалентной системы , мы также получаем желаемое поведение системы, потому что все, что влияет на массу, — это сила пружины, а силу пружины можно полностью определить, используя эквивалентные константы пружины.

Я постараюсь показать, как это работает для серийных пружин в целом.

Мы хотим получить эквивалентную пружину, где:

$$F_{m} = -k_{eq} (x_1 + x_2)$$

(Я звоню$F_{m}$сила, действующая на массу) Для последовательно соединенных пружин, если пружины не имеют массы, на все они должна действовать одинаковая сила. Благодаря этому мы знаем:

$$F_{m} = F_{1} = F_{2}$$

Где$F_{1}$сила на пружине один и$F_{2}$сила на пружине 2. Используя$F_{1} = -x_1 k_1$и$F_2 = -x_2k_2$и перестановка для$x_1$и$x_2$мы получаем:

$$x_1 = - \frac {F_1}{k_1} \\\ x_2 = -\frac {F_2}{k_2}$$

Мы можем заменить$x_1$и$x_2$в уравнение для эквивалентной жесткости пружины. Также я напишу$F_m$,$F_1$и$F_2$просто$F$теперь, когда мы знаем, что все они эквивалентны. После подстановки получаем:

$$F = -k_{eq} (- \frac {F}{k_1} -\frac {F}{k_2})$$

Избавьтесь от двойного отрицания:

$$F = k_{eq} ( \frac {F}{k_1} +\frac {F}{k_2})$$

Теперь, если мы принесем$F$вправо, и$k_{eq}$слева мы увидим более привычную форму:

$$\frac {1}{k_{eq}} = (\frac {1}{k_1} + \frac {1}{k_2})$$

Таким образом, вы можете видеть из вывода, что использование эквивалентной постоянной пружины на самом деле дает ту же выходную силу, как если бы вы суммировали перемещения каждой пружины по отдельности, и поэтому вам нужно использовать только общее эквивалентное перемещение.$(x_1 + x_2)$как одна переменная вместе с одной эквивалентной жесткостью пружины, вместо того, чтобы иметь дело с обоими по отдельности, чтобы получить точно такой же результат по массе.