В последнее время я работал над некоторыми хорошими проблемами в системах с масс-пружиной. Существует множество различных конфигураций — несколько масс, несколько пружин, параллельные/последовательные и т. д.
Несколько возможных конфигураций перечислены здесь: https://ccrma.stanford.edu/CCRMA/Courses/152/vibrating_systems.html . Я думаю, что наиболее интересной является система с 1 массой и 2 пружинами с поперечным движением:
На этой странице написано:
«Если пружины изначально сильно растянуты от их длины в расслабленном состоянии (но не деформированы), частота колебаний будет почти такой же, как и при продольных колебаниях.
Если пружины изначально очень мало растянуты от их расслабленной длины, «собственная» частота будет намного ниже, а колебания будут нелинейными (несинусоидальными) для всех, кроме самых маленьких из них. - смещения осей».
Если я правильно понимаю, это означает, что система приближается к простому гармоническому движению, когда начальное смещение либо очень маленький, либо очень большой.
Я попытался посмотреть, смогу ли я доказать это сам, рассматривая период колебаний как функцию начального смещения. , но у меня возникли проблемы:
Предположим, что масса - это расстояние из положения равновесия. Тогда каждая пружина имеет длину , поэтому каждая пружина растягивается на от его первоначальной длины. Таким образом, каждая пружина оказывает возвращающую силу . Тогда величина чистой возвращающей силы на массу равна
Замена , мы получаем:
Итак, имеем дифференциальное уравнение:
.
Если очень велико, то , представляющее собой простое гармоническое движение с периодом . Это имеет смысл, потому что если очень большой, две пружины действуют параллельно, поэтому мы эффективно имеем систему с одной пружиной, совершающую продольное движение с жесткостью пружины. , что дает тот же результат.
Сейчас если очень мал, я не уверен, какие формулы аппроксимации использовать, чтобы все получилось хорошо. Согласно веб-странице, я должен получить результат, что период будет больше, чем .
Я думаю, вы неправильно понимаете, что они имеют в виду
Если пружины изначально растянуты очень мало от их расслабленной длины
Вы понимаете, что это означает «большое отклонение от равновесия», но я думаю, что это означает «обе пружины находятся под напряжением в равновесии». В этом случае возникает значительное напряжение без водоизмещения и для малых водоизмещений восстанавливающая сила приблизительно равна
Потому что не сильно изменится, если было совсем немного начального напряжения, система будет линейной.
Однако если начальное натяжение мало, то восстанавливающая сила будет в основном за счет дополнительного растяжения пружины. В случае нулевого начального натяжения восстанавливающая сила (при малых перемещениях) определяется выражением
Поэтому, когда увеличение напряжения из-за бокового смещения является значительным, движение становится нелинейным.
ОБНОВИТЬ
Мы можем посмотреть на это как для горизонтального, так и для вертикального смещения. Предположим, что длина пружины в нерастянутом состоянии равна , а растянутая длина (в равновесии) равна . Если мы сместим на небольшую величину по горизонтали и небольшое количество вертикально (оба ), то мы можем вычислить горизонтальные и вертикальные силы, действующие на массу.
Сначала вычисляем новую длину пружины. Это будет
для пружины слева и
для пружины справа.
Чистая сила, действующая на массу, определяется горизонтальной и вертикальной составляющими натяжения пружины.
Для горизонтальной составляющей заметим, что
для малых углов это упрощается до
Для вертикальной составляющей силы аппроксимируем сумму а также , и находим, что она меняется только с более высокими порядками а также - так и считаем( ) постоянная для малых перемещений. Вертикальная сила тогда будет зависеть только от а не на . Таким образом, горизонтальные и вертикальные колебания будут независимыми и линейными.
См. лекцию на http://www.unizor.com в разделе Physics 4 Teens > Waves > Transverse Waves > Musical Strings 1 . Он моделирует музыкальную струну (например, струну на скрипке) с помощью описанной вами модели. Это объясняет, почему колебания с небольшим вертикальным отклонением близки к гармоническим. Угловая частота этих колебаний
В частности, из этой формулы видно, что чем выше начальное натяжение (больше начальное растяжение ), тем выше угловая частота , то есть более высокий тон звука, производимого струной.
Кнчжоу