Пружинно-массовая система со сложной жесткостью пружины

Question

Пружинно-массовая система со сложной жесткостью пружины

ДжонТрав1

Предположим, что система содержит массу $m$ на поверхности без трения, прикрепленной пружиной к стене. Постоянная пружины является сложной, определяемой выражением $K = K_1 + K_2i$ , с $K_1 \gg K_2$ . Напишите уравнение движения и покажите, что оно имеет динамику затухающего осциллятора.

Итак, второй закон Ньютона:

м \ddot{Икс} "=" - (К_{1} + К_{2} я) Икс \Leftrightarrow \ddot{Икс} "=" - \frac{К_{1} + К_{2} я}{м} Икс

$m\ddot{x} = -(K_1+K_2i)x \Leftrightarrow \ddot{x} = -\frac{K_1+K_2i}{m}x$ Решить для

x = e^{λ t}

$x = e^{\lambda t}$ , мы получаем

λ^{2} "=" - \frac{К_{1} + К_{2} я}{м} \Leftrightarrow λ "=" \pm \frac{1}{\sqrt{м}} \sqrt{- (К_{1} + К_{2} я)}

$\lambda^2 = -\frac{K_1 + K_2i}{m} \Leftrightarrow \lambda = \pm\frac{1}{\sqrt{m}}\sqrt{-(K_1+K_2i)}$

λ "=" \pm \sqrt{\frac{К_{1}}{м}} я \sqrt{1 + \frac{К_{2}}{К_{1}} я} \approx \pm \sqrt{\frac{К_{1}}{м}} я (1 + \frac{К_{2}}{2 К_{1}} я) "=" \pm \sqrt{\frac{К_{1}}{м}} я \mp \sqrt{\frac{К_{1}}{м}} \frac{К_{2}}{2 К_{1}}

$\lambda = \pm\sqrt{\frac{K_1}{m}}i\sqrt{1+\frac{K_2}{K_1}i}\approx \pm\sqrt{\frac{K_1}{m}}i\left(1+\frac{K_2}{2K_1}i\right) = \pm\sqrt{\frac{K_1}{m}}i\mp\sqrt{\frac{K_1}{m}}\frac{K_2}{2K_1}$ Вот где я застрял. Поскольку корни не являются комплексно-сопряженными, мы не получаем решения

Икс (т) "=" е^{- \sqrt{\frac{К_{1}}{м}} \frac{К_{2}}{2 К_{1}} т} (А потому что (\sqrt{\frac{К_{1}}{м}} т) + Б грех (\sqrt{\frac{К_{1}}{м}} т))

$x(t) = e^{-\sqrt{\frac{K_1}{m}}\frac{K_2}{2K_1}t}\left(A\cos\left(\sqrt{\frac{K_1}{m}}t\right) + B\sin\left(\sqrt{\frac{K_1}{m}}t\right)\right)$

Это то, что я был направлен, чтобы найти. Решения будут комплексными, а не физическими.

Любая помощь?

Ответы (2)

Пружинно-массовая система со сложной жесткостью пружины

Йони · Answer 1

Я не гуру физики (пока!), но вот мои 50 центов:

С $\lambda$ представляет сложную частоту вибрации, вас не интересует отрицательная действительная часть корня (поскольку отрицательная частота не является физической или, по крайней мере, в наивной интерпретации).

Итак, вместо этого вы берете положительный корень, а затем, если $\lambda$ является решением ОДУ, так же как и его сопряженное.

пользователь1585635 · Answer 2

Наиболее общее решение уравнения: $x = c_1 e^{-\lambda t} + c_2 e^{\lambda t}$ , где константы комплексные. Физический выбор для лямбда в каждом из этих терминов - это тот, который дает экспоненциальное затухание. Таким образом, подставляя правильные значения $\lambda$ дает тебе

Икс "=" е^{- \sqrt{\frac{К_{1}}{м}} \frac{К_{2}}{2 К_{1}} т} (с_{1} е^{я \sqrt{\frac{К_{1}}{м}} т} + с_{2} е^{- я \sqrt{\frac{К_{1}}{м} т}})

$x = e^{-\sqrt{\frac{K_1}{m}}\frac{K_2}{2 K_1}t}\left(c_1 e^{i\sqrt{\frac{K_1}{m}}t} + c_2 e^{-i\sqrt{\frac{K_1}{m}t}}\right)$ Затем вы можете переопределить комплексные константы как

c_{1} = (A - i B) / 2

$c_1 = (A-iB)/2$ и

c_{2} = (A + i B) / 2

$c_2 = (A+iB)/2$ и используйте некоторые тождества, чтобы получить уравнение в том виде, который вы привели выше. Я хотел бы отметить, что форма с комплексными коэффициентами и комплексными экспонентами является наиболее общей формой, но форма, которую вы пытались найти, является общей формой реальных решений уравнений.

Пружинно-массовая система со сложной жесткостью пружины

ДжонТрав1

Ответы (2)

Йони

пользователь1585635

Каково значение зажима центра пружины?

Эффективная масса в системе Spring-with-mass/mass

Простое гармоническое движение массы, прикрепленной к вертикальной пружине

Пружина-масса-маятник "по законам Ньютона"

Понимание поперечных колебаний в системах с 1 массой и 2 пружинами

Экспериментальный результат не может быть объяснен теорией для системы масс 2 Spring 1

Положение двух блоков, соединенных пружиной, в зависимости от времени

Простая система гармонических осцилляторов и изменение ее полной энергии

Доказательство простого гармонического движения (направление ускорения)

Пружина с изменяющимся равновесием