Эффективная масса в системе Spring-with-mass/mass

Question

Эффективная масса в системе Spring-with-mass/mass

pppqqq

Предположим, у вас есть частица массы $m$ закреплен на пружине массы $m_0$ который, в свою очередь, крепится к какой-либо стене. Я пытаюсь рассчитать эффективную массу $m'$ фигурирующее в законе движения частицы (пусть система изолирована):

м^{'} \ddot{Икс} "=" - к (Икс - {Икс}_{0}) .

$m'\ddot x=-k(x-x_0).$ Я где-то читал, что так и должно быть.

m^{'} = m + m_{0} / 3

$m'=m+m_0/3$ , но я получаю другой результат.

Мои рассуждения таковы. Предположим, что частица находится в положении $x$ . Длина пружины $x$ и мы можем предположить, что его центр масс находится в $x/2$ . Таким образом, центр масс пружины/частицы находится в точке:

Икс "=" \frac{\frac{м_{0}}{2} + м}{м + м_{0}} Икс

$X= \dfrac {\frac{m_0}{2} + m}{m+m_0}x$ Дифференцируя два раза, мы получаем

\ddot{Икс} "=" \frac{\frac{м_{0}}{2} + м}{м + м_{0}} \ddot{Икс}

$\ddot X = \dfrac {\frac{m_0}{2} + m}{m+m_0}\ddot x$ Теперь единственной внешней силой, вызывающей ускорение центра масс, является реакция потолка на силу упругости, т.е.

- k (x - x_{0})

$-k(x-x_0)$ . Таким образом:

- к (Икс - {Икс}_{0}) "=" (м + м_{0}) \ddot{Икс} "=" (\frac{м_{0}}{2} + м) \ddot{Икс}

$-k(x-x_0)=(m+m_0)\ddot X=(\frac{m_0}{2} + m)\ddot x$ и поэтому я получаю:

м^{'} "=" \frac{м_{0}}{2} + м .

$m'=\frac{m_0}{2} + m.$

Не могли бы вы указать, где я ошибаюсь (если я ошибаюсь) и, возможно, как демонстрируется результат?

Матусалем

Вы ошибаетесь, когда полагаете, что можете рассматривать проблему как увеличенную массу со смещенным центром масс. Пружина ведет себя совсем иначе. Решение этого довольно длинное: посмотрите на этом веб-сайте подробное решение: mathrec.org/old/2001dec/solutions.html Ответ, который вы получили, исходит от Тейлора, расширяющего решение до eqs. движения при m >> m0

pppqqq

Спасибо за ссылку, очень помогло. Но я пока не понимаю, где мои рассуждения ошибочны. Это просто совпадение, что это работает для статического случая, но не для динамического? Я имею в виду, что в статическом случае ошибки вроде нет. Я также предлагаю вам опубликовать это как ответ, чтобы я мог его принять.

Джон Алексиу

m^{'} \ddot{x} = \dots

$m' \ddot{x} = \ldots$ неправильно. Нельзя взять массивную пружину и линейный закон силы. Вам нужно решить дифференциальное уравнение.

Джон Алексиу

Я задавался вопросом о том же, и я помню, как решал эту проблему несколько лет назад. Но как, не помню. Я также помню, что дробь 1/3 действительна только для низких частот (< естественной частоты). С увеличением частоты отношение также увеличивается.

Джон Алексиу

Я написал это , но это дает соотношение

\frac{4}{π^{2}} = 0.405

$\frac{4}{\pi^2}=0.405$ .

Джон Алексиу

Обратите внимание, что в конструкции клапанных механизмов винтовые пружины получают преимущество.

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ лечение, но пчелиные пружины получают более высокий коэффициент. В некоторых случаях до

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

pppqqq

@ ja72: извините, я не мог ответить до сих пор, однако ссылка, которую вы разместили, слишком сложна для меня, поскольку я никогда не видел, например, волновое уравнение (ну, до вчерашнего дня). Я сохраню это для будущего чтения.

Qмеханик

Кинетическая энергия

T = \frac{M}{2} v^{2} \int_{0}^{1} α^{2} d α = \frac{M}{6} v^{2}

$T=\frac{M}{2}v^2\int_0^1\alpha^2 d\alpha=\frac{M}{6}v^2$ пружины, закрепленной на одном конце.

Ответы (1)

Эффективная масса в системе Spring-with-mass/mass

Вы ошибаетесь, когда полагаете, что можете рассматривать проблему как увеличенную массу со смещенным центром масс. Пружина ведет себя совсем иначе. Решение этого довольно длинное: посмотрите на этом веб-сайте подробное решение: mathrec.org/old/2001dec/solutions.html Ответ, который вы получили, исходит от Тейлора, расширяющего решение до eqs. движения при m >> m0
Спасибо за ссылку, очень помогло. Но я пока не понимаю, где мои рассуждения ошибочны. Это просто совпадение, что это работает для статического случая, но не для динамического? Я имею в виду, что в статическом случае ошибки вроде нет. Я также предлагаю вам опубликовать это как ответ, чтобы я мог его принять.
$m' \ddot{x} = \ldots$ неправильно. Нельзя взять массивную пружину и линейный закон силы. Вам нужно решить дифференциальное уравнение.
Я задавался вопросом о том же, и я помню, как решал эту проблему несколько лет назад. Но как, не помню. Я также помню, что дробь 1/3 действительна только для низких частот (< естественной частоты). С увеличением частоты отношение также увеличивается.
Я написал это , но это дает соотношение $\frac{4}{\pi^2}=0.405$ .
Обратите внимание, что в конструкции клапанных механизмов винтовые пружины получают преимущество. $\frac{1}{3}$ лечение, но пчелиные пружины получают более высокий коэффициент. В некоторых случаях до $\frac{1}{2}$ .
@ ja72: извините, я не мог ответить до сих пор, однако ссылка, которую вы разместили, слишком сложна для меня, поскольку я никогда не видел, например, волновое уравнение (ну, до вчерашнего дня). Я сохраню это для будущего чтения.
Кинетическая энергия $T=\frac{M}{2}v^2\int_0^1\alpha^2 d\alpha=\frac{M}{6}v^2$ пружины, закрепленной на одном конце.

GCLL · Answer 1

Вы можете понять простым способом фактор $1/3$ что дает приблизительное решение в низкочастотном режиме (подробнее об этом позже) следующим образом. Начните с записи кинетической энергии вашей системы в виде:

К "=" \frac{1}{2} м \dot{дельта} (ℓ)^{2} + \int_{0}^{ℓ} \frac{1}{2} λ \dot{дельта} (ты)^{2} г ты

$K = \frac{1}{2} m \dot{\delta}(\ell)^2 + \int_0^\ell \frac{1}{2} \lambda \dot{\delta}(u)^2 du$

где $\delta(u)$ - смещение точки пружины, находящейся в $x=u$ положение в равновесной конфигурации и $\lambda=m_0/\ell$ линейная массовая плотность пружины. Пружина имеет длину $\ell$ когда не растянут.

Если предположить гармоническое движение массы с очень низкой частотой, растяжение пружины будет примерно равномерным, а значит

дельта (ты) "=" \frac{ты}{ℓ} дельта (ℓ)

$\delta(u) = \frac{u}{\ell} \delta(\ell)$

Принимая это приближение, подставляя выражение для кинетической энергии, получаем

К "=" \frac{1}{2} м \dot{дельта} (ℓ)^{2} + \frac{1}{2} \frac{м_{0}}{ℓ} \dot{дельта} (ℓ)^{2} \int_{0}^{ℓ} \frac{{ты}^{2}}{ℓ^{2}} г ты

$K = \frac{1}{2} m \dot{\delta}(\ell)^2 + \frac{1}{2} \frac{m_0}{\ell} \dot{\delta}(\ell)^2 \int_0^\ell \frac{u^2}{\ell^2} du$

и после интеграции

К "=" \frac{1}{2} (м + \frac{1}{3} м_{0}) \dot{дельта} (ℓ)^{2}

$K = \frac{1}{2} \left( m +\frac{1}{3} m_0 \right) \dot{\delta}(\ell)^2$

что является ожидаемым результатом.

Система имеет бесконечное число степеней свободы, а значит, у нее будет бесконечное число форм колебаний. Если $m\gg m_0$ низкочастотная мода будет приближенно описываться как колебание массы при равномерном растяжении пружины. В высокочастотных модах масса будет почти фиксированной, и на пружине будет почти стационарная упругая волна.

Недостаток ваших рассуждений состоит в предположении, что внешняя сила, приложенная к системе масса+пружина, равна $-k(x-x_0)$ . Приложенная сила на самом деле представляет собой натяжение пружины в фиксированной точке, которая не $-k(x-x_0)$ для пружины с массой при наличии ускорений.

Эффективная масса в системе Spring-with-mass/mass

pppqqq

Матусалем

pppqqq

Джон Алексиу

Джон Алексиу

Джон Алексиу

Джон Алексиу

pppqqq

Qмеханик

Ответы (1)

GCLL

Каково значение зажима центра пружины?

Пружинно-массовая система со сложной жесткостью пружины

Простое гармоническое движение массы, прикрепленной к вертикальной пружине

Пружина-масса-маятник "по законам Ньютона"

Понимание поперечных колебаний в системах с 1 массой и 2 пружинами

Экспериментальный результат не может быть объяснен теорией для системы масс 2 Spring 1

Положение двух блоков, соединенных пружиной, в зависимости от времени

Простая система гармонических осцилляторов и изменение ее полной энергии

Доказательство простого гармонического движения (направление ускорения)

Пружина с изменяющимся равновесием