Сохранение углового момента - линейная скорость

Question

Сохранение углового момента - линейная скорость

пользователь 5539357

Угловой момент одиночной частицы равен $mr^2 \omega$ , а его линейная скорость равна $\omega r$ . Предположим, что $m=1$ , расстояние от оси вращения $r=1$ и $\omega=1$ .

Что произойдет, если расстояние от оси вращения уменьшить до $r=0.5$ ? Это аналогично вращающемуся конькобежцу, который тянет руки внутрь, нет внешней силы, которая изменяет импульс частиц, поэтому угловой момент остается постоянным. По формуле это означает, что он должен быть равен $1$ , и поэтому угловая скорость будет в 4 раза больше исходной угловой скорости $\omega$ . При этом линейная скорость частицы удвоится.

Как это возможно? Не противоречит ли это закону, согласно которому при отсутствии внешней силы на частицу ее импульс должен оставаться постоянным?

Билл Н

Подумайте об этом: какая сила необходима для поддержания исходного кругового движения? Тогда как уменьшить радиус до 0,5?

пользователь 5539357

Поддерживать? Думаю ноль. Чтобы уменьшить радиус, я должен применить силу, перпендикулярную вектору скорости, и это не обязательно должна быть внешняя сила.

Билл Н

Круговое движение требует силы, направленной к центру,

F_{c} = m r ω^{2}

$F_c=mr\omega^2$ . Кроме того, подумайте о направлении, в котором движется частица, когда она меняется.

r

$r$ совершена ли работа над частицей. Увеличится ли кинетическая энергия частицы?

пользователь 5539357

Он закручивается внутрь, я думаю, его кинетическая энергия должна увеличиваться, и это объясняет, почему его линейная скорость в конце концов удваивается, но я действительно не понимаю, почему она меняется из-за закручивания по спирали.

пользователь 5539357

Хорошо, увеличивается ли скорость и, следовательно, кинетическая энергия частицы, потому что при уменьшении радиуса скорость не перпендикулярна вектору силы, и это вызывает изменение скорости частицы?

my2cts

Я не уверен, думаете ли вы о частице в вынужденном круговом движении или о свободной частице, поскольку вы подразумеваете, что внешней силы нет.

пользователь 5539357

@my2cts, не могли бы вы объяснить разницу? Ограниченное круговое движение означает, что частица движется по орбите без центростремительной силы?

my2cts

Ограниченное движение означает, что частица удерживается на круговой орбите внешней силой.

пользователь 5539357

Да, это то, что я имею в виду.

Ответы (2)

Сохранение углового момента - линейная скорость

Подумайте об этом: какая сила необходима для поддержания исходного кругового движения? Тогда как уменьшить радиус до 0,5?
Поддерживать? Думаю ноль. Чтобы уменьшить радиус, я должен применить силу, перпендикулярную вектору скорости, и это не обязательно должна быть внешняя сила.
Круговое движение требует силы, направленной к центру, $F_c=mr\omega^2$ . Кроме того, подумайте о направлении, в котором движется частица, когда она меняется. $r$ совершена ли работа над частицей. Увеличится ли кинетическая энергия частицы?
Он закручивается внутрь, я думаю, его кинетическая энергия должна увеличиваться, и это объясняет, почему его линейная скорость в конце концов удваивается, но я действительно не понимаю, почему она меняется из-за закручивания по спирали.
Хорошо, увеличивается ли скорость и, следовательно, кинетическая энергия частицы, потому что при уменьшении радиуса скорость не перпендикулярна вектору силы, и это вызывает изменение скорости частицы?
Я не уверен, думаете ли вы о частице в вынужденном круговом движении или о свободной частице, поскольку вы подразумеваете, что внешней силы нет.
@my2cts, не могли бы вы объяснить разницу? Ограниченное круговое движение означает, что частица движется по орбите без центростремительной силы?
Ограниченное движение означает, что частица удерживается на круговой орбите внешней силой.

пользователь 249968 · Answer 1

Угловой момент $\mathbf L$ дан кем-то:

л "=" р \times п

$\mathbf L = \mathbf r \times \mathbf P$

Теперь крутящий момент $\mathbf {\tau}$ действие на объект определяется как:

т "=" \frac{д л}{д т}

$\boldsymbol {\tau } = \frac {d \mathbf L}{dt}$

\Rightarrow т "=" \frac{д (р \times п)}{д т}

$\Rightarrow \boldsymbol {\tau } = \frac {d (\mathbf r \times \mathbf P) }{dt}$

\Rightarrow т "=" р \times Ф + в \times п

$\Rightarrow \boldsymbol {\tau } = \mathbf r \times \mathbf F + \mathbf v \times \mathbf P$

С $\mathbf v$ и $\mathbf P$ находятся в одном направлении, поэтому

в \times п "=" 0

$\mathbf v \times \mathbf P = 0$ т.е.,

\Rightarrow т "=" р \times Ф

$\Rightarrow \boldsymbol {\tau } = \mathbf r \times \mathbf F$ Теперь, как вы правильно говорите, что

L

$\mathbf L$ постоянна поэтому

т "=" р \times Ф "=" 0

$\boldsymbol {\tau } = \mathbf r \times \mathbf F =0$ Ясно с тех пор

r \neq 0

$\mathbf r \neq 0$ тогда это означает, что

F

$\mathbf F$ во все моменты времени указывает на центр (т. е. можно сказать, что линия действия силы проходит через центр). Обратите внимание, что сила не может быть равна нулю, поскольку для поддержания кругового движения всегда требуется центростремительная сила.

Объект меняет свою орбиту

Теперь, как вы можете видеть из рисунка, при переходе с внешней орбиты на внутреннюю вектор силы и скорости имеют острый угол между ними, поэтому сила действует на ускорение объекта и, следовательно, увеличивает его скорость.

Также следует отметить, что для сохранения углового момента отсутствие силы не является необходимым критерием (пример эллиптических орбит планет).

По поводу комментария:

Итак, если я рассчитал скорость частицы после того, как радиус был уменьшен до $0.5$ это оказалось бы $2v$ , где $v$ исходная скорость? Есть ли формула, которую я могу использовать?

Да, как вы знаете, что

л "=" р \times п

$\mathbf L = \mathbf r \times \mathbf P$

\begin{matrix} (1) & \frac{л}{м} "=" р \times в \end{matrix}

$\frac {\mathbf L}{m} = \mathbf r \times \mathbf v \tag 1$ Ясно, что после уменьшения радиуса до

r^{'}

$\mathbf {r'}$ тогда скорость становится

v^{'}

$\mathbf {v'}$

\begin{matrix} (2) & \Rightarrow \frac{л}{м} "=" р^{'} \times в^{'} \end{matrix}

$\Rightarrow \frac {\mathbf L}{m} = \mathbf {r'} \times \mathbf {v'} \tag 2$

Поэтому из $(1)$ и $(2)$ (также отмечая, что после выхода частицы на орбиту векторы имеют $90°$ угол между ними)

\Rightarrow в^{'} р^{'} "=" в р

$\Rightarrow v'r'=vr$ Затем

в^{'} "=" в \frac{р}{р^{'}}

$v'= v \frac {r}{r'}$

Обратите внимание, что это было объяснено в следующем видео Vsauce (объяснение начинается с 10:05 до 13:15):

Законы и причины

Так что, если бы я рассчитал скорость частицы после того, как радиус был уменьшен до 0,5, это оказалось бы $2v$ , где $v$ исходная скорость? Есть ли формула, которую я могу использовать?
@ user55 Я изменил свой ответ, чтобы учесть ваш комментарий.
На самом деле я думал о формуле, которая не использует закон сохранения углового момента. Правило сохранения прекрасно, потому что упрощает вычисления, но я подумал, насколько сложнее было бы, если бы я вычислял новую скорость, не обращаясь к закону сохранения углового момента и вычисляя составляющую силы, параллельную вектору скорости.
@ user5539357, вы можете задать для этого отдельный вопрос.

МаркП · Answer 2

Все это зависит от того, что вы определяете как внешнюю силу или, что то же самое, что является и не является частью вашей системы. Если ваша система — это просто частица и ничего больше, то внешняя сила определенно существует. На самом деле существует внешняя сила еще до того, как радиус уменьшится, а именно центростремительная сила, поддерживающая круговое движение частицы. Если ваша система представляет собой нечто большее, чем просто частица, то в системе должно быть что-то еще, обеспечивающее как центростремительную силу, так и любую силу, необходимую для уменьшения радиуса вращения. В этом случае общий импульс (угловой и линейный) всей системы сохраняется, и любой импульс, который, по-видимому, приобрела или потеряла частица, будет соответствовать равному и противоположному увеличению или уменьшению, испытываемому остальной частью системы.

Сохранение углового момента - линейная скорость

пользователь 5539357

Билл Н

пользователь 5539357

Билл Н

пользователь 5539357

пользователь 5539357

my2cts

пользователь 5539357

my2cts

пользователь 5539357

Ответы (2)

пользователь 249968

пользователь 5539357

пользователь 249968

пользователь 5539357

пользователь 249968

МаркП

При каких условиях справедливо соотношение L⃗ =Iω⃗ L→=Iω→\vec{L} =I \vec{\omega}? [дубликат]

Шатающаяся тарелка Фейнмана

Угловое ускорение в твердых телах

Непостоянная угловая скорость на орбите

Механика вращения: возможно ли угловое ускорение без внешнего крутящего момента?

Влияет ли вырубка деревьев на угловой момент вращения Земли?

Под каким углом сфера МММ потеряет контакт с неподвижной сферой ООО?

Вращающийся конус — поиск энергии и импульса

Парадокс угловой скорости

Вычислить общий угловой момент объекта, вращающегося вокруг двух осей (например, Земли)