Силлогистическая логика: отрицание категорического предложения?

Я новичок в логике и пишу введение в логику для учебника по математике. У меня сложилось впечатление, что тремя основными областями логики для объяснения являются (по порядку) силлогистическая логика, сентенциальная логика и логика предикатов.

Начиная с силлогистической логики, я утверждаю, что силлогизм представляет собой набор из трех утверждений, где каждое утверждение имеет форму «категорического предложения». Существует ровно четыре возможных категорических суждения:

All x are y
All x are not y
Some x are y
Some x are not y

Можно подумать no x are yи предложить это как еще одно возможное категорическое утверждение, но я считаю, что это эквивалентно all x are not y. Точно так же оператор no x are not yэквивалентен all x are y. Будет ли это правильно?

Во-вторых, я знаю, что в сентенциальной логике каждое утверждение имеет отрицание. Например, ¬(P ∨ Q) ≡ ¬P ∧ ¬Q. Однако я заметил, что ни на странице Википедии, посвященной силлогизму , ни на странице Википедии, посвященной категорическому суждению , нигде не упоминаются отрицания. Как будто в силлогистической логике не существует отрицаний категорических суждений. Однако мне это кажется странным, потому что, основываясь на собственной интуиции, я бы предположил, что у каждого есть отрицание, которое я бы выбрал:

¬(All x are y)      ≡  Some x are not y
¬(All x are not y)  ≡  Some x are y
¬(Some x are y)     ≡  All x are not y
¬(Some x are not y) ≡  All x are y

Это исходит только из моей собственной интуиции. Однако мне кажется, что это правильно. Однако, как я уже упоминал, ни на одной из страниц Википедии, посвященных силлогистической логике, категорическим суждениям и т. д., не упоминаются отрицания этих утверждений, как будто их не существует в этой системе. Я что-то упускаю?

Спасибо за ваши мысли!

К сожалению, PhilosophySE не поддерживает LaTex. См. этот мета-пост для объяснения, почему запросы на добавление этой функции были отклонены, а также для предложений удобных альтернатив для отображения формул. Обычно я просто копирую и вставляю символы Юникода из онлайн-списков общих математических символов.
Спасибо за чаевые! Я отредактировал свой вопрос, чтобы изменить код LaTeX на символы HTML.
Я думаю, что термин «отрицание» не используется таким же образом в терминологической логике. Вместо этого посмотрите на квадрат оппозиции. Противоречие категорического суждения было бы тем же самым, что и его «отрицание» в современной логике. У современной логики есть наследие, согласно которому логические утверждения рассматриваются как алгебраические уравнения, поэтому отрицание — это то же самое, что умножение на -1. Логика терминов обычно не признает такой мыслительный процесс. По крайней мере, такие термины, как «логическое произведение» и «логическая сумма», не прижились...

Ответы (1)

Вы «упускаете» Традиционную Площадь Оппозиции .

Как ты говоришь :

«Каждое S есть P» и «Некоторое S не есть P» противоречат друг другу.

«Традиционная» символизация:

  • SaP для «все S есть P»

  • SeP для «нет S есть P»

  • SiP для «некоторые S есть P»

  • SoP для «некоторое S не является P».

o и i являются отрицаниями a и e соответственно .

Таким образом: не SaP будет «не все S являются P», т. е. «некоторые S не являются P», что является SoP .

То же самое для не SeP , т.е. «не всякое S есть P», т.е. «некоторое S есть P», которое есть SiP .

Примечание

С современной точки зрения «порядок» должен быть:

  • смысловая логика,

  • силлогистическая логика,

  • логика предикатов.

Силлогистическую логику также называют монадической логикой предикатов, потому что это просто подмножество логики предикатов, в которой все буквы предикатов имеют «арность» единицу, иемонадическую.

Арность сказуемой буквы есть число ее аргументов-мест .

Таким образом, "... является отцом..." и "... меньше, чем..." являются диадическими : арность = 2 (два аргумента, обычно называемые бинарными отношениями).

Категорический силлогизм использует только предикаты с одним местом аргумента, например «... человек», «... смертен»; арность = 1 (один аргумент).

Вот почему мы «моделируем» его языком множеств (или классов ): «все люди смертны» эквивалентно: множество людей включено в множество смертных.

Смотрите первый современный учебник по математической логике:

Ах, это идеальный ответ! Спасибо, @Мауро. Не могли бы вы также сказать, что сентенциальная логика является «подмножеством» силлогистической логики, где «противоречивость» силлогистической логики соответствует «отрицанию» сентенциальной логики? То есть отрицание категорического суждения есть его противоречие из квадрата противопоставления? PS, спасибо за рекомендацию книги; Я только что заказал его через Amazon.
Еще один вопрос - я немного запутался, что такое сказуемое... Кажется, вы называете "...смертен" (или вообще фразу "...являются Р" в предложении "все S являются P") предикатом. Однако на странице Википедии в качестве предиката упоминается только одна буква P. То есть описательными терминами являются «S» (подлежащее) и «P» (сказуемое), тогда как «все» и «являются» являются логическими терминами. Спасибо, что помогли мне разобраться с этим.
Да, P, S — сказуемые буквы в современной логике с арностью . Таким образом, «стандартное» категорическое предложение силлогизма: «все S суть P» переводится в современной логике как «для всех x (если S (x), то P (x)»). Таким образом, «все люди смертны» переводится как «для всех х (если х — человек, то х — смертный)» или, что то же самое, «для всех х (если человек (х), то смертный (х))». Я использую как «Человек (x)», так и «x is a Man», чтобы перевести формальное «P (x)».
Что касается сентенциальной логики, то ее обычно описывают первой, чтобы представить основное понятие и, прежде всего, связки . Но верно то, что мы можем рассматривать его как подмножество логики предикатов. Конечно, если мы читаем Барбару как сентенциальную формулу, это равносильно «если p и q, то r», что, конечно, вообще не является действительным аргументом...
В дополнение к статье SEP о «Логике Аристотеля» вы можете увидеть Günther Patzig, A ristotle’s Theory of Syllogism (1968).
Правильно ли будет сказать, что сентенциальная логика ⊂ силлогистическая логика ⊂ предикатная логика? Спасибо еще раз!
Слоговая логика в современных терминах является монадической предикатной логикой (т. е. предикатная логика ограничена предикатными буквами только с одним аргументом): поэтому правильно будет сказать, что силлогистическая логика ⊂ предикатная логика. также логика высказываний ⊂ логика предикатов верна, потому что каждый экземпляр логики предикатов тавтологии действителен .
Силлогистическая логика: отрицание категорического предложения?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v