Собственное значение LzLzL_z

Когда вы изначально устанавливаете собственное значение на верхней ступени равным$\hbar l$, вам не нужно предполагать, что$l$является целым числом, вы можете думать о нем как о любой мультипликативной константе. Ясно, что здесь нет потери общности. Прелесть подхода с использованием лестничных операторов заключается в том, что вы можете использовать его, чтобы доказать, что$l$должен быть неотрицательным целым числом или полуцелым числом.

Этот аргумент ясно представлен у Гриффитса, по крайней мере, во втором издании (возможно, вы используете первое издание?). Использование лестничных операторов$L_+$и$L_-$, и условия, что должны быть верхняя и нижняя ступеньки лестницы собственных значений, вы автоматически обнаруживаете, что

собственные значения$L_z$являются$m \hbar$, где$m$... идет от$-l$к$+l$в$N$целые шаги. В частности, следует, что$l = -l + N$, и поэтому$l = N/2$, так$l$должно быть целым числом или полуцелым числом.

Итак, природа$l$обнаруживается как вывод - исходного предположения нет.