Сохраняющиеся величины и полные производные?

Мне кажется, что вы путаете общее понятие полной производной и так называемой лагранжевой производной (также известной как материальная производная ).

Давайте начнем с нуля. В декартовых координатах жидкость или непрерывное тело общего положения в первую очередь описывается классом дифференцируемых (гладких) отображений из$\mathbb R^3$к$\mathbb R^3$:

$$x=x(t,y)\:, \quad x \in \mathbb R^3\:.$$ Для каждого$t\in \mathbb R$, карта$\mathbb R^3 \ni y \mapsto x(t,y) \in \mathbb R^3$связывает частицу с начальным положением$y$с позицией $x$той же частицы в момент времени$t$.

За каждый фиксированный$t$, карта выше предполагается обратимой с дифференцируемой (гладкой) обратной, а две карты$\mathbb R^3 \ni y \mapsto x(t,y) \in \mathbb R^3$а также$\mathbb R^3 \ni x \mapsto y(t,x) \in \mathbb R^3$совместно гладки по всем переменным одновременно.

Вовремя$t$, скорость частицы с начальным положением $y$следовательно, дается:

$$v_L(t,y) = \frac{\partial x}{\partial t}\:.$$ Приведенная выше формула изображает поле скоростей в так называемом лагранжевом описании : физически значимые величины при данном значении времени рассматриваются как функции начального положения частиц, образующих непрерывное тело. Однако часто удобнее описывать эту скорость как функцию положения в пространстве во времени .$t$. Таким образом, мы получаем так называемое эйлерово описание поля скоростей: $$v(t,x) := v_L(t,y(t,x))\:.$$ (Я не буду использовать индекс$E$, впредь предполагая, что то, что не является лагранжевым, автоматически является эйлеровым.)$x$это заданная точка пространства во времени$t$. В этот момент его пересекает частица с начальным положением$y(t,x)$.

Вообще говоря, если$S$является (декартовым) тензорным полем, определенным на непрерывном теле, у нас есть два представления. Лагранжевой$S_L(t,y)$и эйлерова$S(t,x)$, где, очевидно,

$$S(t,x) = S_L(t,y(t,x))\quad \mbox{and}\quad S_L(t,y)= S(t,x(t,y))\:.$$ Иногда бывает удобно вычислить производную от$S$ по историям частиц сплошного тела, представляя полученное тензорное поле в эйлеровой картине .

Например, поле ускорений

$$a(t,x)= \left.\frac{\partial }{\partial t} v_L(t,y)\right|_{y=y(t,x)}\:.$$ Обратите внимание, что производная по времени правильно вычисляется в лагранжевом представлении, так как мы должны следить за каждой частицей отдельно. Правая сторона вышеприведенной идентичности гласит, что используются только эйлеровы объекты : $$a(t,x) = \frac{\partial v}{\partial t} + v \cdot \nabla_x v(t,x)\:.$$ (Нетрудно установить это тождество из определений.)

В общем случае лагранжева производная тензорного поля (представленная на эйлеровом рисунке)$S(t,x)$определяется как:

$$\frac{DS}{Dt} := \frac{\partial S}{\partial t} + v(t,x)\cdot \nabla_x S(t,x)\qquad(1)$$ Выходит, что: $$\left.\frac{DS}{Dt}(t,x)\right|_{x=x(t,y)}= \frac{\partial}{\partial t} S_L(t,y)\:,\qquad (2)$$ так что производная Лагранжа - это просто способ вычисления производных по времени вдоль историй частиц непрерывного тела, остающихся в эйлеровом представлении.

Примечание . Эту производную Лагранжа вы называете полной производной , но ее физический смысл очень точен, как я показал выше. В остальной части этого поста я продолжаю обозначать это как$D/Dt$вместо$d/dt$.

Приходим к закону сохранения массы . Прежде всего, мы должны наделить нашу непрерывную систему плотностью массы$\rho$. Как и прежде, мы можем принять либо эйлерово, либо лагранжево описание:

$$\rho= \rho(t,x)\qquad \mbox{and}\quad \rho_L= \rho_L(t,y):= \rho(t,y(t,x))\:.$$ Наиболее ясное утверждение о сохранении массы состоит в следующем.

За каждую (достаточно регулярную) порцию$V_L$исходной конфигурации сплошного тела, соответствующей участку$V_t$при каждом значении$t$времени ,

$$V_t = \{x \in \mathbb R^3 \:|\: x = x(t,y)\:, y \in V_L\}\:,$$ масса, входящая в$V_t$не меняется во времени: $$\frac{d}{dt} \int_{V_t} \rho(t,x) dx =0\:,\qquad(3)$$

Преобразуем это требование в эквивалентное локальное утверждение. Переходя к лагранжевой картине, (1) гласит:

$$\frac{d}{dt} \int_{V_L} \rho(t,x(t,y)) |J_t| dy =0$$ то есть $$\frac{d}{dt} \int_{V_L} \rho_L(t,y) |J_t| dy =0$$ куда$J_t$является определителем матрицы Якоби элементов$\frac{\partial x_i}{\partial y_j}$. Поскольку в (2)$V_L$не зависит от времени и все регулярно (подынтегральная функция гладкая и$V_L$всегда можно считать ограниченным), мы можем поменять местами символы производной и символа интеграла (по сути, воспользовавшись теоремой Лебега о мажорируемой сходимости): $$\int_{V_L} \left(\frac{\partial}{\partial t}\rho_L(t,y)\right) |J_t| + \rho_L(t,y) \frac{\partial}{\partial t} |J_t| dy =0\:.$$ Можно доказать (на самом деле это не так просто), что$\frac{\partial}{\partial t} |J_t| = |J_t|\nabla_x \cdot v(t,x)|_{x=x(t,y)}$. Используя его в ЛХ найденного тождества и принимая во внимание (1) и (2), находим, что из (3) следует (фактически эквивалентно): $$\int_{V_L} \left( \left.\frac{D\rho}{Dt}\right|_{x=x(t,y)}+\rho_L(t,y) \left.\nabla_x \cdot v(t,x)\right|_{x=x(t,y)}\right) |J_t| dy =0\:.\qquad (4)$$ Другими словами, возвращаясь к эйлеровым переменным: $$\int_{V_t} \frac{D\rho}{Dt}+\rho(t,x) \nabla_x \cdot v(t,x) dx =0\:.\qquad(5)$$ Сформулируйте (4) или (5), используя тот факт, что подынтегральная функция непрерывна и$V_L$или же$V_t$существенно произвольны, заключают, что интегральная версия закона сохранения массы (3) эквивалентна локальному требованию в эйлеровой формулировке: $$\frac{D\rho}{Dt}+\rho(t,x) \nabla_x \cdot v(t,x) = 0 \qquad (6)\:.$$ Наконец, используя определение лагранжевой производной (1), это тождество можно эквивалентно сформулировать как: $$\frac{\partial\rho}{\partial t}+ \nabla_x \cdot \rho(t,x) v(t,x) = 0 \qquad (7)\:.$$

Примечание . Непрерывное тело несжимаемо , если мера объема $V_t$его частей$V_L$остается постоянным на протяжении всей своей истории:

$$\frac{d}{dt} \int_{V_t} dx =0\:.\qquad(3)'$$ Имея дело с по-прежнему, сразу видно, что это совершенно равносильно тому, что (достаточно везде заменить$\rho$за$1$) $$\nabla_x \cdot v(t,x) = 0 \qquad (6)'\:.$$ Следовательно, закон сохранения массы несжимаемого сплошного тела из (6) просто гласит: $$\frac{D\rho}{Dt}=0\:. \qquad (8)$$ Это уравнение, которое вы указали в случае закона сохранения массы. Однако при такой интерпретации оно справедливо только для несжимаемых тел в общей формулировке (6)'.

Для общего количества$\rho$(даже векторной или тензорной), (8) просто говорит, что величина постоянна во времени на протяжении истории каждой частицы системы, хотя эта константа может зависеть от частицы.

Для полноты позвольте мне сказать несколько слов о другой популярной формулировке закона сохранения массы. Начиная с (7), интегрируя обе части в геометрическом объеме $U$(то есть не часть сплошного тела, а геометрический объем, покоящийся в используемой нами системе отсчета), имеем:

$$\int_U \frac{\partial \rho}{\partial t} dx = - \int_U \nabla_x \cdot \rho v(t,x) dx\:.$$ Таким образом, теорема о дивергенции приводит к самой популярной версии рассматриваемого закона, смысл которой проиллюстрирован в других ответах на ваш вопрос, поэтому я не буду распространяться о ней: $$\frac{d}{dt}\int_U \rho(t,x) dx = - \int_{+\partial U} \rho v(t,x)\cdot n dS(x)\:,\qquad (9)$$ куда$n$внешний единичный вектор в$x\in \partial U$.

В заключение, касающееся теории сплошных тел, подчеркну, что понятие лагранжевой производной играет решающую роль в развитии теории сплошных тел. Например "$F=ma$"должно быть написано для каждой порции$V_L$сплошного тела, используя производную Лагранжа:

$$\frac{d}{dt}\int_{V_t} \rho(t,x) v(t,x) dx = F_{V_t}$$
то есть при некоторых элементарных манипуляциях с учетом (6) $$\int_{V_t} \rho(t,x) \frac{Dv}{Dt}(t,x) dx = F_{V_t}\:.$$

Примечание . Имея дело с гамильтоновой механикой , существует аналогичный закон сохранения относительно вероятности при изучении статистических ансамблей, т.е. статистической (гамильтоновой) механики. Фактически в этой ситуации теорема Лиувилля устанавливает, что гамильтонова эволюция сохраняет канонический объем пространства фаз . Другими словами, справедливо (6)', где$v$поле гамильтоновых скоростей$(dq/dt,dp/dq)$. Как следствие, закон сохранения вероятностей, описываемый плотностью Лиувилля$\rho$, можно сформулировать в более простом варианте:

$$\frac{D\rho}{Dt}=0\:,$$ что, в свою очередь, в стандартных обозначениях статистической гамильтоновой механики гласит: $$\frac{d\rho}{dt}=0\:,$$ и, в конце концов, может быть переформулирована в знаменитую форму уравнения Лиувилля : $$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \{\rho , H\}=0\:.$$

Основная мысль

Физически полная производная говорит вам, как изменяется величина, когда она подвергается воздействию поля скоростей, зависящего от пространства и времени. В физике мы обычно называем это материальной производной .

Интуитивно понятный пример

Предполагать$\rho(\mathbb{x},t)$измеряет температуру жидкости по термометру, погруженному в точку$\mathbb{x}$и время$t$. Теперь предположим, что термометр движется через жидкость с вектором положения$\mathbb{x}(t)$.

Через небольшое время$dt$происходит соответствующее изменение положения$d\mathbb{x}$. Изменение температуры, наблюдаемое на термометре, будет

$$d\rho = \frac{\partial \rho}{\partial t}dt + \frac{\partial \rho}{\partial\mathbb{x}}\cdot d\mathbb{x}$$

Морально это аппроксимирует общее изменение как мгновенную скорость изменения в каждом направлении пространства-времени, умноженную на соответствующее изменение пространства-времени.

Теперь разделив на$dt$(которую можно сделать математически строгой) вы получите обычную формулу

$$\frac{d\rho}{dt} = \frac{\partial\rho}{\partial t}+\frac{\partial \rho}{\partial\mathbb{x}}\cdot \frac{d\mathbb{x}}{dt}=\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\rho\cdot\mathbb{u}$$

Сохраняемые количества

Мы говорим, что$\rho$сохраняется (или постоянен) вдоль течения жидкости, если

$$\frac{d\rho}{dt}=0$$

Интегрируя, находим, что

$$\rho(\mathbb{x}(t),t) = \rho(\mathbb{x}(t_0),t_0)$$

Как отметил Джос в своем комментарии, разные пути$\mathbb{x}(t)$могут все еще иметь разные значения для$\rho$. Условие сохранения говорит только о том, что$\rho$постоянен на каждом пути.

Вы правы, думая, что сейчас это не очень интересно. Но это полезное понятие в сочетании с другими физическими законами сохранения.

Физическое приложение

Одним из них является сохранение массы. Это легко вывести и посмотреть, где появляется полная производная.$\rho(\mathbb{x},t)$быть плотностью жидкости. Тогда общая масса жидкости в объеме$V$является

$$M = \int_V \rho\ dV$$

Каждую секунду масса теряется за границей$V$. Назовите эту границу$S$. Это изменение массы определяется выражением

$$\delta M = -\int_S \rho \mathbb{u}\cdot\mathbb{n}\ dS$$

Сопоставив эти факты, мы получим

$$\frac{d}{dt}\int_V \rho \ dV = -\int_S \rho \mathbb{u}\cdot\mathbb{n}\ dS$$

Используя теорему о расходимости на RHS и тот факт, что$V$фиксируется в пространстве на LHS получаем

$$\int_V \frac{\partial \rho}{\partial t} dV = -\int_V\nabla\cdot(\rho \mathbb{u})\ dV$$

Но$V$был произвольным, поэтому мы получаем

$$\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\mathbb{u}) = 0$$

Вы можете переписать это в терминах полной производной (упражнение) и получить

$$\frac{d\rho}{dt}+\rho\nabla\cdot\mathbb u = 0$$

Итак, если плотность сохраняется (т.е. постоянна вдоль потока), то из закона сохранения массы мы знаем, что

$$\nabla\cdot\mathbb{u} = 0$$

Это как раз условие несжимаемости жидкости . Интуитивно это звучит правильно.

Обратите внимание, что несжимаемая жидкость не обязательно должна иметь везде одинаковую плотность! Это просто должно быть постоянным вдоль потока. См. также Википедию .

Дальнейшее чтение

Если вы хотите больше узнать о применении материальных производных, я предлагаю вам прочитать эти конспекты лекций.

Рассмотрим функцию$f$это зависит от времени$t$, должность$q$и импульс$p$. Это всего лишь пример, связанный с лагранжевой физикой относительно обозначений.

Кто-то хочет измерить вариацию$f(t,q,p)$относительно времени. Мы знаем это$f(t,q,p)$имеет явную зависимость от времени, но ничего не сохраняет$q$а также$p$также зависеть от времени. Тогда можно дифференцировать$f$:

$$\mathrm d f(t,q,p) = \frac{\partial f}{\partial t} \mathrm d t +\frac{\partial f}{\partial q} \mathrm d q +\frac{\partial f}{\partial p} \mathrm d p$$ Полная производная от $f(t,q,p)$затем: $$\frac{\mathrm d f}{\mathrm d t}(t,q,p) = \frac{\partial f}{\partial t} +\frac{\partial f}{\partial q}\frac{\mathrm d q}{\mathrm d t} +\frac{\partial f}{\partial p}\frac{\mathrm d p}{\mathrm d t}$$ куда $\partial$обозначает частные производные и $\mathrm d$обозначает полные производные.

Вещи, которые можно вывести, когда полная производная или частная производная равна нулю, различны.

Если$\frac{\mathrm d f}{\mathrm d t} = 0$тогда$f$является сохраняющейся величиной, она не зависит от времени. Если$\frac{\partial f}{\partial t} = 0$тогда$f$не обязательно является сохраняющейся величиной, но можно сказать, что$f$не имеет явной зависимости от времени. Эти два вывода не совпадают, и очевидно:

$$\frac{\mathrm d f}{\mathrm d t} = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{\partial f}{\partial t} = 0$$

Выражение, которое вы дали для полной производной, требует дополнительной точности. Функция$\rho$зависит от времени и от пространственных координат (скажем, двух, но допускается любое количество). Используя выражения, которые я дал, получите:

$$\frac{\mathrm d \rho}{\mathrm d t}(t,x,y) = \frac{\partial \rho}{\partial t} +\frac{\partial \rho}{\partial x}\frac{\mathrm d x}{\mathrm d t} +\frac{\partial \rho}{\partial y}\frac{\mathrm d y}{\mathrm d t}$$ можно заметить, что: $$\nabla \rho = \frac{\partial \rho}{\partial x} \pmb x + \frac{\partial \rho}{\partial y} \pmb y$$ Если мы определим $$\pmb u = \frac{\mathrm d x}{\mathrm d t} \pmb x+ \frac{\mathrm d y}{\mathrm d t} \pmb y$$ Получаем написанное вами выражение: $$\frac{\mathrm d \rho}{\mathrm d t}(t,x,y) = \frac{\partial \rho}{\partial t} +\pmb u \cdot \nabla \rho$$ тогда $\pmb u$это просто производная по времени от вектора положения $\pmb r = x(t) \pmb x + y(t) \pmb y$

В гидродинамике$x(t)$а также$y(t)$часто являются функциями времени, тогда, если кто-то хочет взять производную по времени, нужно позаботиться о временной зависимости$x$а также$y$. Физически полная производная — это производная, учитывающая каждую временную зависимость.

Законы сохранения выражаются в виде

$$\frac{\partial q}{\partial t}+\nabla\cdot\mathbb T =0\tag{1}$$ на некоторое количество $q$. Здесь термин $\mathbb T$смотря какое количество $q$является; для гидродинамических уравнений Эйлера это будет: $$\mathbb T=\begin{cases}\rho\mathbf u & q=\rho \\ \rho\mathbf{uu}^T+p\mathbb{I} & q=\rho\mathbf u \\ \left(E+p\right)\mathbf u & q=E\end{cases}$$ куда $p$полное давление, $\mathbf u$скорость жидкости, $\mathbb I$- единичная матрица, а $E$общая энергия.

Физический смысл закона сохранения состоит в том, что любое количество$q$изменяется во времени (т.$\partial_tq$срок) зависит от того, сколько выходит или входит объем$V$($\nabla\cdot\mathbb T$срок).

• Если ничего не выходит и не входит($\nabla\cdot\mathbb T=0$), тогда$\partial_tq=0$по необходимости.
• Если$q$постоянна во времени ($\partial_tq=0$), тогда$\nabla\cdot\mathbb T=0$по необходимости.

Есть два взгляда на гидродинамику: эйлеровский и лагранжев подходы. Легче всего представить их, используя аналогию с лодкой, плывущей по реке:

1. Стоя на берегу реки (Эйлер)
2. Стоя в лодке на реке (лагранжиан)

Разница между ними заключается в том, что лагранжев подход (использующий общую/материальную производную) описывает динамическую эволюцию величины$q$ вдоль его пути . Подход Эйлера (который использует приведенное выше уравнение (1)) описывает динамическую эволюцию величины$q$ через некоторый контрольный объем$V$.