Сомнение в функциональной производной лагранжиана

Лекция XXXIII: Лагранжева формулировка ОТО Кристофера М. Хираты

НЕВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩАЯ ПЫЛЬ

Рассмотрим систему с набором частиц {A}, каждая из которых имеет массу$\mu_{A}$по некоторому набору траекторий$x^{\mu}(\sigma|A)$где – индекс частицы и$\sigma$является координатой на мировой линии. Действие для таких частиц:

$$S = \sum_{A} \mu_{A} \int d\tau = -\sum_{A} \mu_{A} \int\sqrt{-g_{\mu\nu}\dfrac{dx^{\mu}}{d\sigma}\dfrac{dx^{\nu}}{d\sigma}}d\sigma.\tag{28}$$

$$\delta S = \dfrac{1}{2}\sum_{A}\mu_{A}\int u^{\mu}u^{\nu}\delta g_{\mu\nu}d\tau.\tag{29}$$

Следовательно, функциональная производная:

$$\dfrac{\delta S_{matter}}{\delta g_{\mu \nu}(y^{\alpha})}=\dfrac{1}{2}\sum_{A}\mu_{A} \int u^{\mu}u^{\nu} \delta^{(4)}[y^{\alpha}-x^{\alpha}(\tau|A)]d\tau\tag{30}$$

$\delta^{(4)}$это$4$Дельта-функция.

МОЙ ВОПРОС

Я просматривал PDF-файл (также прикрепленный сверху) по получению тензора энергии-напряжения из действий. Я наткнулся на уравнения$(29)$и$(30)$. Может ли кто-нибудь помочь с интуицией или процессом того, как$(30)$происходит от$(29)$? Я тут откровенно не в курсе.

Выше приведены уравнения$(28)$,$(29)$и$(30)$из ПДФ.