Существует ли би-4-векторное представление гамма-матриц Дирака и спинора?

Question

Существует ли би-4-векторное представление гамма-матриц Дирака и спинора?

Физика
спиноры
уравнение Дирака
теория представлений

Джо

Недавно я узнал, что если у вас есть спинор Дирака, представленный в базисе Вейля (хиральном) $\Psi = \begin{pmatrix} \psi_L \\ \psi_R \end{pmatrix}$ , то с учетом преобразования Лоренца $\Lambda = exp[\frac{1}{2}\Omega_{\rho \sigma}M^{\rho\sigma}]$ , соответствующее преобразование $S[\Lambda]$ для $\Psi \rightarrow S[\Lambda]\Psi$ выглядит как $S[\Lambda] = exp[\frac{1}{2}\Omega_{\rho \sigma}S^{\rho\sigma}]$ . В киральном базисе это выглядит как $\psi_L$ и $\psi_R$ преобразование как различные представления со спином 1/2 $so(3,1)$ .

Здесь $so(3,1)$ Алгебра Ли представлена стандартными матрицами Лоренца $M^{\rho\sigma}$ для $x^\mu$ преобразование и другие матрицы $S^{\rho\sigma}$ алгебра, порожденная гамма-матрицами $S^{\rho\sigma} = \frac{1}{4}[\gamma^\rho,\gamma^\sigma]$ .

Мой вопрос (возможно, в неточной формулировке): можно ли выбрать $\gamma^\mu$ быть матрицами 8x8 таким образом, что $S^{\rho\sigma} = \frac{1}{4}[\gamma^\rho,\gamma^\sigma] = M^{\rho\sigma} \oplus M^{\rho\sigma}$ ? то есть мы можем выбрать $\gamma^\mu$ так что хиральные компоненты $\psi_L, \psi_R$ каждое преобразование, как 4-векторы?

Ответы (2)

Существует ли би-4-векторное представление гамма-матриц Дирака и спинора?

Qмеханик · Answer 1

ОП, по-видимому, хочет обсудить приводимые представления алгебры Клиффорда. $Cl(1,3;\mathbb{R})$ .
Конкретно кажется, что OP спрашивает о 8-мерном представлении прямой суммы.
$Вт "=" В \oplus В$ $W~:=~V\oplus V$ 2 копий 4-мерного спинорного представления Дирака $В "=" (\frac{1}{2}, 0) \oplus (0, \frac{1}{2}) .$ $V~:=~(\frac{1}{2},0) \oplus (0,\frac{1}{2}).$ См. также этот пост Phys.SE.
The $8\times 8$ гамма-матрицы
$Г^{мю} "=" (\begin{matrix} γ^{мю} & 0 \\ 0 & γ^{мю} \end{matrix})$ $\Gamma^{\mu} ~=~\begin{pmatrix} \gamma^{\mu} & 0 \cr 0 & \gamma^{\mu} \end{pmatrix}$ в $W$ -представление представляют собой блочные матрицы с 2 копиями $4\times 4$ гамма-матрицы в $V$ -представление.
The $W$ -представление образующих Лоренца принимает аналогичную блочно-диагональную форму, ср. Последний вопрос ОП (v1).

Но... этот тривиальный представитель Gamma никогда не соединит компоненты L и R, не так ли?
Я скорее спрашивал, существует ли $(1,0) \oplus (0,1)$ представление гамма-матриц. Этот пост, кажется, говорит, что неприводимые комплексные представления выглядят как V.
@ Джо, я понимаю ... до тех пор, пока вы цените эту репутацию, например, компонент 0 в массовом выражении никогда не смешивает верхние 4 с нижними четырьмя компонентами ... то, что я понял, является определяющей чертой L и R .... Посмотри на $\Gamma_5$ ; его хиральные проекторы устраняют два тандемных дублета.

Космас Захос · Answer 2

Не полностью осознавая суть вашего вопроса (8×8?), позвольте мне просто просмотреть выражения кирального базиса для $\gamma_5$ и генераторы Лоренца $S^{\mu\nu}$ , которые являются блочно-диагональными по отношению к киральным проекциям, поэтому они не смешиваются $\psi_L$ с $\psi_R$ , в отличие от γs:

γ^{0} "=" (\begin{matrix} 0 & я_{2} \\ я_{2} & 0 \end{matrix}), γ^{к} "=" (\begin{matrix} 0 & о^{к} \\ - о^{к} & 0 \end{matrix}), γ^{5} "=" (\begin{matrix} - я_{2} & 0 \\ 0 & я_{2} \end{matrix}),

$\gamma^0 = \begin{pmatrix} 0 & I_2 \\ I_2 & 0 \end{pmatrix},\quad \gamma^k = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^k \\ -\sigma^k & 0 \end{pmatrix},\quad \gamma^5 = \begin{pmatrix} -I_2 & 0 \\ 0 & I_2 \end{pmatrix},$

С^{0 Дж} "=" \frac{1}{2} (\begin{matrix} - о^{Дж} & 0 \\ 0 & о^{Дж} \end{matrix}), С^{Дж к} "=" \frac{я ϵ^{к Дж м}}{2} (\begin{matrix} о^{м} & 0 \\ 0 & о^{м} \end{matrix}) "=" я ϵ^{к Дж м} γ_{5} С^{0 м} .

$S^{0j} = \tfrac{1}{2}\begin{pmatrix} -\sigma^j & 0 \\ 0 & \sigma^j \end{pmatrix}, \qquad S^{jk}=\frac{i\epsilon^{kjm}}{2} \begin{pmatrix} \sigma^m & 0 \\ 0 & \sigma^m \end{pmatrix} = i \epsilon^{kjm} \gamma_5 S^{0m} .$

Таким образом, генераторы (в алгебре) явно представляют собой сокращенное представление невзаимодействующих блоков 2 × 2.

Формально сокращенное число повторений 2 ⊕ 2 выглядит так:

2 С^{0 Дж} "=" (- о^{Дж}) \oplus о^{Дж}, 2 С^{Дж к} "=" я ϵ^{к Дж м} (о^{м} \oplus о^{м}) .

$2S^{0j}=(-\sigma^j)\oplus \sigma^j, \qquad 2S^{jk}=i\epsilon^{kjm} (\sigma^m\oplus \sigma^m).$

Я понимаю эту часть. В представлении Вейля $\gamma^\mu$ что вы дали, сгенерированный $S^{\mu\nu}$ блочной диагонали, и каждый блок соответствует $SL(2,C)$ Алгебра лжи. Мой вопрос заключался в том, можем ли мы выбрать гамма-матрицы, чтобы они были реальными матрицами 8x8, чтобы $S^{\mu\nu}$ являются блочно-диагональными и соответствуют $SO(3,1)$ Алгебра лжи. Если бы это было правдой, мы могли бы обрабатывать каждый компонент, $\psi_L, \psi_R$ как преобразование, подобное 4-вектору, выражением для $S[\Lambda]$ приведено выше.
?? Что не так с этим представлением? Конечно, алгебра 6S — это алгебра SO(3,1); как это могло провалиться? Это би-спинорное представление, действующее на 4D: $\psi_L\oplus \psi_R$ представитель Вы хотите добавить две 1/2 вращения каждого блока в 1 вращение каждого блока?
Нет ничего плохого в представлении per-say. Я имел в виду, что я хотел, чтобы 6 S были такими же матрицами, как алгебра Лоренца, которые регулярно рассматриваются в 4-мерном пространстве, или как их прямая сумма. Я хочу знать, можем ли мы выразить спинор как две единицы спина вместо двух спинов 1/2 с помощью какого-либо другого выбора гамма-матриц, которых нет в $C^{4x4}$ , но в $R^{8x8}$ . Я нигде не видел, чтобы это нельзя было сделать явно, но я не видел заявлений о невозможности, и у меня возникли проблемы с их созданием, поэтому я спрашиваю на stackexchnge
Я понимаю. Вы хотите, чтобы спинорная карта была расширена до группы Лоренца. Он отображает комплексные матрицы 2x2 в действительные векторы. Это основа теории твисторов, но это совсем другой вопрос.
Вы, кажется, пытаетесь заново изобрести АПС , жалкая история....
Большое спасибо за ваши ответы, они кажутся хорошими ресурсами. Не могли бы вы пояснить, как мой вопрос связан с твисторами и АПС, и почему это жалкая сказка? Немного сложно получить общие идеи из ссылок Википедии.
Извините, не я. Возможно, вы сможете переписать свой вопрос в свете 36359 .

Существует ли би-4-векторное представление гамма-матриц Дирака и спинора?

Джо

Ответы (2)

Qмеханик

Космас Захос

Джо

Космас Захос

Космас Захос

Джо

Космас Захос

Джо

Космас Захос

Космас Захос

Джо

Космас Захос

Спинорные повторения в пространстве-времени R1,3×BR1,3×B\mathbb{R}^{1,3}\times{}B

Введение в спиноры в физике и их связь с представлениями

Размерность γγ\gamma-матриц Дирака

Спинор Дирака в киральном базисе

Как из свойства матриц Паули следуют простые двухкомпонентные тождества Фирца?

Хиральность (2+1)D уравнения Дирака

В чем разница между спинором и вектором или тензором?

Интерпретация моря Дирака VS интерпретация Фейнмана-Стюкельберга для античастиц

Вопрос о майорановском фермионе и майорановском представлении

Доказательство неэквивалентности правого и левого спинорных представлений