Преобразование Хаббарда-Стратоновича и приближение среднего поля

Они действительно эквивалентны. Это весьма поучительно и приятно видеть доказательство этого. Рассмотрим общее действие вида

$$Z = \int \exp \left( -S_0[\varphi]+\frac{\lambda}{2} \;\mathcal O[\varphi] \mathcal O[\varphi] \right) \; \mathrm D[\varphi]$$ где$S_0$есть действие, вокруг которого мы возмущаемся (мы не будем предполагать, что это свободная теория).

1. Теория среднего поля. Существенным предположением является то, что

$$\mathcal O([\varphi]) = M + \underbrace{(\mathcal O([\varphi]) -M)}_{= \textrm{ small}}.$$ Возведение в квадрат дает нам$\mathcal O[\varphi] \mathcal O[\varphi] \approx 2M \mathcal O[\varphi] - M^2$. Включение этого в статистическую сумму дает нам приближение среднего поля: $$\boxed{ Z_\textrm{mf}[M] = e^{- \lambda M^2 / 2} \int \exp \left( -S_0[\varphi]+\lambda M\mathcal O[\varphi] \right) \; \mathrm D[\varphi] }$$ с отношением самосогласования $$M = \langle \mathcal O[\varphi] \rangle_\textrm{mf} = \frac{1}{\lambda} \partial_M \ln \left( e^{\lambda M^2/2} Z_\textrm{mf}[M] \right).$$ Обратите внимание, что последний эквивалентен$\boxed{ \partial_M \ln Z_\textrm{mf}[M] = 0 }$(что можно интерпретировать как высказывание о том, что среднее поле экстремумирует свободную энергию).

2. Преобразование Хаббарда-Стратоновича. Существенная идентичность

$$\exp\left( \frac{\lambda}{2} \; \mathcal O[\varphi] \mathcal O[\varphi] \right) = \int \exp \left( - \frac{\lambda \mathcal M^2}{2} + \lambda \mathcal M \mathcal O[\varphi] \right) \; \mathrm D[\mathcal M].$$ Подключив это к исходной функции распределения, мы получим $$\boxed{ Z = \int \mathrm D[\mathcal M] \; e^{-\lambda \mathcal M^2/2} \int \mathrm D[\varphi] e^{-S_0[\varphi] + \lambda \mathcal M \mathcal O[\varphi]} = \int e^{-S_\textrm{HS}[\mathcal M]} \mathrm D [\mathcal M] },$$ с действием Хаббарда-Стратоновича $$\boxed{ S_\textrm{HS}[\mathcal M] = \frac{\lambda \mathcal M^2 }{2} - \ln \left( \int e^{-S_0[\varphi] + \lambda \mathcal M \mathcal O[\varphi]} \; \mathrm D[\varphi] \right) }.$$

3. Связь между средним полем и Хаббардом-Стратоновичем. Из вышеизложенного мы можем непосредственно видеть, что$S_\textrm{HS}[\mathcal M ] = - \ln Z_\textrm{mf}[\mathcal M]$. Эквивалентно, мы можем написать

$$\boxed{ Z = \int Z_\textrm{mf}[\mathcal M] \; \mathrm D[\mathcal M] } \; .$$ Таким образом, приближение седловой точки $$\boxed{ Z \approx e^{-S_\textrm{HS}[\mathcal M_0]} = Z_\textrm{mf}[\mathcal M_0] \qquad \textrm{with } S'_\textrm{HS}[\mathcal M_0] = 0 },$$ но заметим, что экстремальность действия Хаббарда-Стратоновича в точности эквивалентна экстремальности свободной энергии среднего поля, т. е.$\mathcal M_0 = M$. КЭД.

4. За рамками теории среднего поля. Что мы получаем от этого? Мы можем напрямую включить квадратичные поправки вокруг этого приближения седловой точки. То есть лучшее приближение

$$Z \approx \frac{Z_\textrm{mf}[M]}{\sqrt{S''_\textrm{HS}[M]}}.$$ Фактически, это можно использовать для проверки того, насколько надежна/стабильна аппроксимация среднего поля.

Они эквивалентны. Но можно сказать, что это преобразование Хаббарда-Стратановича более систематично, так как может быть проще выяснить, как выйти за пределы среднего поля. Также может быть проще комбинировать различные типы каналов (например, в вашем примере вы выбрали канал частица-дырка, тогда как в случае сверхпроводимости можно было бы выбрать канал частица-частица).$c^\dagger c^\dagger c c\to c^\dagger c^\dagger\langle c c \rangle+ \langle c^\dagger c^\dagger \rangle c c$). Но следует иметь в виду, что преобразования HS произвольны (вы можете комбинировать их произвольное количество), и различные теории среднего поля, которые можно получить из них, дают разные результаты (даже если бы можно было провести точный расчет, результаты были бы быть одинаковым).

Выбор подходящего преобразования HS всегда является обоснованным предположением.