Среднее количество частиц на определенном энергетическом уровне в каноническом ансамбле

Квантовая система имеет р дискретные уровни энергии ε 1 , ε 2 , ε 3 , . . . , ε р и Н частицы, распределенные по этим уровням, при этом количество частиц на каждом уровне обозначается н 1 , н 2 , н 3 , . . . , н р . Я пытаюсь найти среднее количество частиц в я -й энергетический уровень, ⟨ н я ⟩ , и колебания этого среднего, ⟨ ( Δ н я ) 2 ⟩ , используя Canonical Ensemble.

Моя попытка

Средняя энергия системы в состоянии р определяется по оккупационным номерам ( н 1 , н 2 , н 3 , . . . , н р ) р может быть вычислено

⟨ Е ⟩ "=" ⟨ Е р ⟩ "=" ∑ р п р Е р "=" 1 Z ∑ р Е р е − β Е р "=" − 1 Z ( ∂ Z ∂ β ) Н , В "=" − ( ∂ п ⁡ Z ∂ β ) Н , В

При аналогичном процессе, имея в виду, что Е р "=" ∑ р н р ε р , это понятно

⟨ н я ⟩ "=" ∑ р п р н я "=" 1 Z ∑ р н р е − β ∑ р н я ε р "=" − 1 β ( ∂ п ⁡ Z ∂ ε я ) Н , В

Что должно быть правильным результатом. Однако я не уверен, что это ⟨ н я ⟩ "=" ∑ р п р н я справедливо для этого среднего, так как п р есть вероятность того, что система находится в р -состояние, а не то, р -й энергетический уровень имеет определенное количество частиц...

Правильна ли процедура, которую я выполнил?

Ответы (1)

Это не совсем правильно. Микросостояние вашей системы определяется р -кортеж р "=" ( н 1 , н 2 , … , н р ) что дает числа заполнения каждого энергетического уровня. Каждый р -tuple имеет соответствующую энергию, заданную выражением Е р "=" ∑ я "=" 1 р н я , р ϵ я (где н я , р это оккупационный номер я т час уровень энергии в микросостоянии р ), а вероятность того, что система занимает каждое микросостояние, равна п р "=" е − β Е р / Z , где Z является статистической суммой.

Имеет смысл вычислить среднюю энергию системы через это распределение вероятностей:

⟨ Е ⟩ "=" ∑ р п р Е р "=" ∑ р Е р е − β Е р Z "=" − ∂ ∂ β бревно ⁡ ( Z )

Нет смысла говорить о ⟨ Е р ⟩ , однако. Для каждого микросостояния р , Е р является фиксированным числом.

Ожидаемое количество частиц на энергетическом уровне я точно так же можно вычислить. Мы усредняем все возможные микросостояния, взвешенные по вероятности того, что это микросостояние населяется системой:

⟨ н я ⟩ "=" ∑ р п р н я , р

Расширяя это больше,

⟨ н я ⟩ "=" 1 Z ∑ р опыт ⁡ [ − β ∑ Дж н Дж , р ϵ Дж ] н я , р "=" 1 Z ∑ р − 1 β ∂ ∂ ϵ я опыт ⁡ [ − β ∑ Дж н Дж , р ϵ Дж ]
"=" − 1 β ∂ ∂ ϵ я бревно ⁡ ( Z )

Среднее количество частиц на определенном энергетическом уровне в каноническом ансамбле
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v