Вопрос о полупрямом произведении в пространстве модулей ddd-тора TdTdT^d

Следующий абзац появляется на странице 6 лекций Моррисона TASI о компактификации и двойственности :

Действие на мировом листе для струн на торе зависит от выбора плоской метрики на торе и выбора поля двойной формы NS-NS («B-поле»). Мы можем выделить объем как отдельный параметр и вспомнить, что пространство плоских метрик первого объема на торе можно описать как$SL(d)/SO(d)$. Таким образом, все пространство параметров

$$\Gamma_0 \backslash \Lambda^2 \mathbb{R}^d \times \mathbb{R}^+ SL(d)/SO(d)$$

с дискретной идентификацией$\Gamma_0$происходящие из двух источников: диффеоморфизмы$T^d$(которые способствуют$SL(d, \mathbb{Z})$) и интегральные сдвиги B-поля (вносящие вклад$\Lambda^2 \mathbb{Z}^d$). Полная дискретная группа, полученная в результате этого геометрического анализа, равна$\Gamma_0 = \Lambda^2\mathbb{Z}^d \ltimes SL(d, \mathbb{Z})$).

В общем, если у вас есть два фактора, вносящих вклад в дискретную (или непрерывную) симметрию, комбинированное действие является прямым произведением факторов, если их действия коммутируют, и полупрямым произведением, если их действия не коммутируют.

Пространство всех двух форм в d-измерениях равно$\Lambda^2 \mathbb{R}^d$. Я понимаю, почему у нас есть два фактора в$\Gamma_0$но зачем нам полупрямое произведение? Насколько я понимаю, это точно так же, как у нас для группы Пуанкаре, которая является полупрямым произведением переводов (здесь заменено на$SL(d, \mathbb{Z})$) и группу Лоренца (здесь заменены диффеоморфизмами).

Это правильный способ думать об этом?