В многочастичном гильбертовом пространстве (любом пространстве любой многочастичной системы) достаточно ли определить операторы рождения и уничтожения по их действию (например, отображение состояния n частиц в состояние n + 1 частиц) или есть делать что-нибудь еще, например, «доказывать существование». Интуитивно можно априори сказать, что оно существует, если вы можете его записать, но я этого не делаю.
Если действие дано, существование очевидно (если только определение ошибочно). Но обычно хотелось бы проверить, что все операторы рождения коммутируют, все операторы уничтожения коммутируют, а коммутатором оператора рождения и оператора уничтожения является c-число.
Более того, для теории поля обычно хотелось бы проверить, что это c-число ковариантно преобразуется при преобразованиях Пуанкаре и обращается в нуль при пространственноподобном разделении. Это относится к теориям свободного поля. Для интерактивных теорий поля нет внутренних c/a-операторов, поскольку их свойства разрушаются при перенормировке. Но можно связать (согласно теории Хаага--Рюэля) с каждым связанным состоянием семейство параметризованных импульсом операторов рождения и уничтожения, описывающих свободное асимптотическое движение в процессе рассеяния.
Предоставление действия оператора над векторами базиса — это то же самое, что «записать его», поскольку оно распространяется на все остальные векторы по линейности. Это то же самое, что написать матрицу линейного оператора между векторными пространствами. Таким образом, операторы создания и уничтожения автоматически существуют, когда они определены.
Для теории с массовой щелью достаточно определить операторы рождения и уничтожения по их действию, но эти операторы не будут иметь локальных свойств вообще, они не будут преобразованием Фурье полей, подчиняющихся микропричинности или исходящих из локальный лагранжиан.
Когда частицы разбросаны по всему пространству, они не взаимодействуют. Их элемент S-матрицы равен
Где I — тождество, то и дельта-функции делают входящие k равными уходящим k, в то время как A имеет только одну общую дельта-функцию для сохранения энергии-импульса (A может быть тождеством для некоторых частиц, а не тождеством для других). , но это все же меньше дельта-функций). Это означает, что две бесконечные плоские волны имеют дельта-функцию рассеяния в прямом направлении, но только плавное распределение в обратном направлении. Интерпретация заключается в том, что по мере того, как вы делаете пучок частиц более тонким, количество столкновений стремится к нулю.
Этот аргумент в некоторой степени не работает в теориях инфракрасного расхождения (таких как квантовая электродинамика), потому что вам нужно создать нелокальное поле с каждой заряженной частицей. В этом случае нужно доказывать существование, поскольку неясно, что одно и то же гильбертово пространство включает в себя как нуль-электронное состояние, так и одноэлектронное состояние с полем бесконечного пробега (хотя в нуль-электронном состоянии должны быть электрон-позитронные состояния, которые являются нейтральными по сети и поэтому имеют более короткое поле действия).
Но в любой релятивистской теории поля с массовой щелью, если у вас есть вакуум и одночастичное состояние, вы можете определить операторы рождения и уничтожения, которые создают n-частичные (обязательно невзаимодействующие) состояния. Затем вы можете определить квантовое поле с помощью этих операторов. Это квантовое поле вообще не будет иметь локальных взаимодействий, так как частицы могут быть H-атомами или пионами, они не обязательно должны быть точечными фотонами.
Проблема построения квантовых теорий поля заключается в том, чтобы убедиться, что поле для элементарных частиц является локальным, а для этого иногда требуются разные степени свободы, как у кварков, которые не являются асимптотическими. В этом случае вы не можете определить оператор рождения кварка, потому что сильное поле бесконечного радиуса действия кварка представляет собой струну с бесконечной массой и определенно находится за пределами гильбертова пространства теории.
Рон Маймон
Марсель
Эмилио Писанти