Существует ли симметрия, связанная с сохранением информации?

Сохранение информации представляется глубоким физическим принципом. Например, унитарность является ключевым понятием в квантовой механике и квантовой теории поля.

Мы можем задаться вопросом, существует ли какая-то скрытая симметрия в каком-то пространстве, которая может объяснить такое сохранение информации.

Энтропия. Это не симметрия, а второй закон термодинамики.
Я не говорю об энтропии, которая является неизвестной информацией о какой-то системе для конкретного наблюдателя. Я говорю об информации.
@Trimok Являются ли известная информация и ее потеря (энтропия) о системе не связанными чем-то вроде «по мере увеличения энтропии информация уменьшается» ...? Может быть, вы правы, когда говорите о мелкозернистом микроскопическом описании системы, которая является обратимой и, следовательно, сохраняется как информация, так и энтропия (так что очень интересно спросить о симметрии, соответствующей сохранению информации + 1), и прав ли Ланж, когда говорит о зернистых системах, которые не сохраняют энтропию и информацию, когда не находятся в равновесии?
Что ж, может быть, я ошибаюсь, но я думаю, что информация всегда сохраняется, а энтропия всегда возрастает. И я также думаю, что это относится как к микроскопическим системам, так и к макроскопическим системам. Но я допускаю, что все эти вопросы очень тонкие, потому что вы должны решить, что субъективно, что объективно, какова роль наблюдателя и так далее.

Ответы (10)

1) Если вам нужна теорема Нётер для информации, такой вещи не существует .

Попытка получить ее из закона симметрии по теореме Нётер не сработает просто потому, что информация не является величиной, которую можно получить, например, производной лагранжиана по некоторой переменной. Информация не является скалярной, векторной, тензорной, спинорной и т.д.

2) Другой способ получения законов сохранения можно найти в квантовой механике. Наблюдаемые, коммутирующие с гамильтонианом, сохраняются. Опять же, у вас нет наблюдаемого в смысле квантовой механики для получения информации.

Попытка получить сохранение информации от коммутации с гамильтонианом не может работать, потому что нет наблюдаемого (эрмитова оператора в гильбертовом пространстве), связанного с информацией. Информация не является собственным значением такого оператора.

3) Единственный способ, который также является самым простым и прямым, заключается в следующем: для сохранения информации, когда вы обращаете законы эволюции, вы должны получить законы эволюции, которые являются детерминированными. Это обеспечивает сохранность информации, по сути, они равнозначны. В частности, большинство классических законов детерминированы и обратимы. Кроме того, в квантовой механике унитарная эволюция обратима, что обеспечивает сохранение информации.

Я не говорю, что законы эволюции должны быть детерминированными или инвариантными к обращению времени. Просто когда вы применяете обращение времени, получаемые вами уравнения эволюции (которым разрешено отличаться от исходных) являются детерминированными. Самый простой способ подумать об этом — использовать динамические системы. Траектории в фазовом пространстве не могут сливаться, потому что, если они сливаются, информация о том, какой траекторией была до слияния, теряется. Им разрешено разветвляться, потому что вы все еще можете вернуться и посмотреть, каким было любое предыдущее состояние. Ветвление нарушает детерминизм, но не сохранение информации. Старая информация сохраняется при ветвлении, но, как заметил WetSavannaAnimal, добавляется новая информация. Поэтому, если мы хотим строгого сохранения, мы должны запретить как слияние, так и разветвление,

+1 - быстрый вопрос - не будет ли ветвление соответствовать увеличению информации? нужно указать, какое ответвление приняла конкретная траектория в точке разветвления.
Это может быть как раз то объяснение, которое я ищу. Но я посмотрю, что еще придет.
@WetSavannaAnimal, также известный как Род Вэнс: старая информация сохраняется, но, как вы упомянули, каждое ответвление добавляет новую информацию. Хороший вопрос, я обновлю.
+1 за интересный ответ. Некоторые замечания. 1) Информация данной системы, безусловно, является инвариантом, поэтому я думаю, что это должен быть скаляр Лоренца 2) Да, потому что мы определяем наблюдаемые как эрмитовы операторы, которые не зависят от матрицы плотности (иначе мы могли бы определить энтропию, например, как наблюдаемая) 3)а) Унитарный оператор обратим, да, но важно то, что норма состояния сохраняется, в пределе мы могли бы представить возможный необратимый оператор с этим свойством.
@Trimok: Что вы подразумеваете под скалярной информацией? Является скаляром а е р ? В этом случае сохранение будет означать, что а постоянно. Фазовое пространство будет р , и Вселенная будет статична: его траектория сократится до а е р . Скажем, информация — это скалярное поле. Тогда все во Вселенной должно быть выведено из этого скалярного поля. Но у Вселенной есть и другие поля, следовательно, больше степеней свободы. Скажем, Вселенная дискретна. В этом случае мы могли бы закодировать всю информацию в двоичной строке, следовательно, в реальном скаляре.
@CristiStoica: Нет, я не имел в виду, что информация является скалярным полем. Я хотел сказать, что для данной системы информация, соответствующая этой системе, является внутренней реальностью системы, инвариантом системы, поэтому она не должна зависеть от наблюдателя.
не является величиной, которую можно получить, например, производной лагранжиана по некоторой переменной . Есть ли доказательство невозможности? Или, в более общем смысле, есть ли способ показать, что это не может быть реализовано как наблюдаемое?

CPT, кажется, подразумевает это. Вы можете обратить эволюцию системы вспять, применяя сопряжение по заряду, четности и времени, поэтому информация о прошлом должна содержаться в настоящем состоянии. Это подразумевает сохранение информации путем эволюции.

Возможно, это не тот ответ, который вы хотели, потому что он не подразумевает унитарности, но это единственная связь между симметрией и сохранением информации, о которой я могу думать. Тем не менее, унитарность кажется очень фундаментальным предположением, и нет более фундаментальной математической структуры, которую вы могли бы использовать, чтобы утверждать о ее необходимости.

Вам нужно предположить лоренц-инвариантность для CPT, что для меня не проблема, потому что Природа релятивистка. Мне нужно подумать над вашим ответом, который кажется интересным.
Ну, это не обязательно должно быть строго CPT, в любое время работает обратная симметрия. Так что лоренцевская теория относительности на самом деле не требуется.
Я думаю, что может быть потенциальная проблема, потому что в некоторых взаимодействиях у вас есть нарушение CP и, следовательно, нарушение T. Но информация, надеюсь, все-таки сохранилась.
CPT - это всегда симметрия. Нарушение CP не делает аргумент недействительным, вы все равно можете построить решение с обращением во времени с сопряжением по заряду и четности.
Я читал, что в экспериментальных данных есть какие-то очень слабые намеки на нарушение СРТ, а значит может быть нарушено сохранение информации? или могут быть другие причины, которые могут вызвать это?
Что ж, TMS, у вас есть какие-нибудь упоминания об этих предполагаемых нарушениях CPT?
Заметим, что в современной физике СРТ-симметрия является тождеством. Любая наблюдаемая, равная идентичности, была бы столь же хорошей мерой.
CPT — это дискретная симметрия — разве она не должна приводить к правилу выбора, а не к сохраняющейся величине? Является ли связь между CPT и информацией неформальной? или это можно доказать?

Я понимаю, что немного опоздал в эту тему, но если кто-то наткнется на этот вопрос, вот ответ:

Ответ заключается в том, что существует симметрия, связанная с сохранением информации, но она не исходит из обычного лагранжиана. Обычно для квантовых или классических систем у нас есть лагранжиан формы л знак равно 1 2 м Икс ˙ 2 + В ( Икс ) а сохраняющиеся величины связаны с симметриями этого лагранжиана. С сохранением информации дела обстоят немного иначе. Вместо того, чтобы придумывать лагранжиан, описывающий движение частицы, мы должны рассматривать квантовую волновую функцию как (классическое) поле. В этом случае действие будет выглядеть так

С знак равно ∫ г т ∫ г Икс [ я ℏ 2 [ ψ ˙ ψ * − ψ ψ ˙ * ] + ψ * ЧАС ^ ψ ] ,
куда ЧАС ^ является гамильтонианом системы. Нетрудно проверить, что уравнения Эйлера-Лагранжа, вытекающие из этого действия, воспроизводят уравнение Шрёдингера.

Обратите внимание, что при преобразовании

ψ → е − я α ψ
ψ * → е я α ψ *
для постоянного α листья С инвариантный, означающий, что существует связанный сохраняющийся ток. Получается, что этот ток и есть ток вероятности. (см. https://en.wikipedia.org/wiki/Probability_current ). Как результат,
∫ г Икс   ψ ( Икс ) ψ * ( Икс ) знак равно с о н с т .
за все время. В частности, для нормированной волновой функции
∫ г Икс   ψ ( Икс ) ψ * ( Икс ) знак равно 1 ,
означает, что вероятность с о м е т час я н грамм происходит всегда 100%. Таким образом, информация (вероятность) — это сохраняющаяся величина, соответствующая тому факту, что мы можем умножать волновые функции на общую сложную фазу без изменения физики.

В своем ответе я сосредоточился на случае обычной нерелятивистской квантовой механики для ясности. Но приведенная выше цепочка рассуждений работает (хотя и гораздо более сложным образом) для любой унитарной квантовой теории, например КТП.

это было очень полезно, Майк Л. Я не могу понять вывод, но ваше описание процесса было именно тем, что мне было нужно. спасибо за публикацию.

Сохранение информации можно вывести из теоремы Лиувилля, которую можно интерпретировать в терминах симметрий переноса времени.

Итак, теорема Лиувилля касается сохранения фазового пространства во время эволюции. Это классический вариант сохранения информации. Но вы не можете, я думаю, рассматривать это как временную симметрию, это только нечто постоянное во времени, а это совсем другое. Например, угловой момент постоянен во времени, но это не из-за временной симметрии.
Существует квантовая версия теоремы Лиувилля. Он обеспечивает сохранение квантовой информации. В общем случае симметрии имеют вид { грамм , п } знак равно 0 куда грамм является генератором перевода, п сохраняющееся свойство и фигурные скобки обозначают квантовые или классические скобки. Генератор временных трансляций - гамильтониан, поэтому любое свойство, сохраняющееся во времени, удовлетворяет условию { ЧАС , п } знак равно 0 . Это следствие теоремы Лиувилля. Это также удовлетворено для информации п знак равно я . Я не говорил " временная симметрия ", я сказал " временно-трансляционная симметрия " .
Я также имел в виду симметрию переноса времени. Извините за неточность. Но что конкретно является вашим оператором я ? Как вы думаете, матрица/оператор плотности или это другое?
я это информация. Это не обязательно должен быть оператор. Например, это функция фазового пространства в формулировке КМ Вигнера-Мойала. Явная форма для я зависит от типа информации, которую вы рассматриваете: Шеннон, Реньи, Фишер...
Ну, если есть симметрия, и если мы примем квантовую точку зрения, то должен существовать инфинитезимальный оператор я , такие как [ ЧАС , я ] знак равно 0 . Но я не думаю, что такой оператор существует. И должна существовать только одна версия этого оператора, а не несколько версий.
Закон сохранения [ ЧАС , я ] знак равно 0 не требует , чтобы оператор я был бесконечно мал. Как было сказано, явная форма для я зависит от типа информации, которую вы рассматриваете. Информация Шеннона отличается от информации Реньи или Фишера, и, следовательно, их соответствующие операторы различны.
Хорошо, просто позволь я быть оператором, но не инфинитезимальным оператором. Вы можете явно показать этот квантовый оператор я ?
В третий раз явный вид оператора зависит от типа рассматриваемой информации . Для информации Фишера вы можете найти оператор в уравнении 20 этой статьи . Для других видов информации оператор другой.
Что касается теоремы Лиувилля, то это следствие замкнутости симплектической формы. Это означает, что его интегралы постоянны относительно кобордизма, что является своего рода локальной инвариантностью к сдвигу во времени для 2-циклов в фазовом пространстве, которая не зависит от фактического гамитониана. Это кинематическое, а не динамическое сохранение как-то.
Мне это не кажется правильным. В терминах теоремы Нётер симметрия перевода времени связана с сохранением энергии, а не с сохранением информации. И я не вижу никакой связи между теоремой Лиувилля и симметрией переноса времени...??
@BenCrowell Но я использую более фундаментальный подход. Как я сказал выше, трансляционная симметрия во времени подразумевает, что сохраняющиеся величины п удовлетворить { ЧАС , п } знак равно 0 . Тривиальный пример, когда п знак равно ЧАС ; это сохранение энергии.

Унитарность — это та симметрия, которую вы ищете. Что случилось с этим?

Унитарность — это квантовая версия сохранения информации. Вы должны показать, как это может быть симметрией, в каком пространстве и т. д.

Не вытекает ли сохранение информации непосредственно из того факта, что существуют уравнения движения для системы? Значит, тот факт, что мы действительно можем составить лагранжиан для системы, подразумевает сохранение информации? По крайней мере, в классической перспективе. Унитарная эволюция была бы квантово-механической версией. Извините, если это наивное предложение.

Что ж, я думаю, вы должны уточнить свою идею и, главное, дать явное описание симметрии, которая, если она существует, подразумевает сохранение информации.
Нет, это не так. Уравнение движения для системы априори даже не обязательно должно быть обратимым, и в этом случае оно, конечно, не сохраняет ничего, что заслуживает называться информацией.
Не вытекает ли сохранение информации непосредственно из того факта, что существуют уравнения движения для системы? Не совсем. Классически сохранение информации выражается теоремой Лиувилля, и у нас есть неголономные системы, для которых существуют уравнения движения, но теорема Лиувилля не работает.

В квантовой физике информация обычно не считается наблюдаемой. Нет смысла требовать, чтобы оно сохранялось, если мы принимаем сохранение в его обычном математическом смысле.

Если вы хотите настаивать на том, чтобы информация была наблюдаемой, вы можете представить, что это размерность гильбертова пространства или, альтернативно, оператор тождества. Таким образом, сохранение информации — это поэтический способ сказать, что эволюция во времени не превращает идентичность в проекцию.

Если вы готовы допустить, что информация является наблюдаемой идентичностью, тогда ясно, какую группу симметрии она порождает: это тривиальная группа, которая действует одинаково во всех состояниях.

Или, может быть, можно было бы просто сказать «унитарность» ? :-)

Энтропия используется для количественной оценки информации, а поскольку беспорядок увеличивается, информация уменьшается. Я думаю, вы имеете в виду, что сохраняется какая-то конкретная информация, а не общий объем информации во Вселенной. Точно так же можно показать, что энтропия не всегда увеличивается — только когда вы смотрите на всю вселенную («обобщенная энтропия»).

Нет, информация сохраняется, но энтропия (неизвестная информация о какой-то системе для какого-то наблюдателя) всегда увеличивается

Информация, понимаемая как количество сохраняемых конфигураций, на самом деле означает, что вероятность сохраняется, как вам сказал ответ выше. Более интуитивный способ сказать, что эволюция КМ сохраняет количество стеков, даже когда количество частиц (или частиц + античастиц) НЕ сохраняется в КТП, вероятность найти некоторое количество частиц в определенных микросостояниях или стеках должна сохраняться для данной энергии или для данной конфигурации. Конечно, реальный классический мир немного другой, поскольку у нас есть диссипация, то, что мы можем включить в КМ не без забот и забот.

В классической статистической механике сохранение информации выражается в форме теоремы Лиувилля, просто говорящей о том, что объект не исчезнет и не создастся (или плотность фазового пространства постоянна вдоль его траектории). Это не соответствует никакой симметрии.

попробуй улучшить ответ
Существует ли симметрия, связанная с сохранением информации?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v