Одной из самых простых полезных аксиоматических систем в математике являются аксиомы Пеано для натуральных чисел. Примечательно, что он имеет только одну константу (ноль).
Можно предположить, что можно покончить с этой единственной константой, рассмотрев аксиоматическую структуру для целых чисел, не имеющих выделенного начального значения. Обычная конструкция для целых чисел, которая проходит через натуральные числа, похоже, отрицает такую возможность. (В качестве альтернативы можно показать, что у него есть уникальная модель, возможно ли это)?
ZFC также имеет константы через аксиому бесконечности - что существует бесконечное множество - альтернативный способ увидеть это состоит в том, что в теории топосов, которая является обобщенной теорией множеств, замена аксиомы бесконечности - это объект натуральных чисел, который является категориальным эквивалентом аксиом Пеано, поэтому мы вернулись к первому случаю, упомянутому выше.
Итак, топос не обязательно имеет объект натуральных чисел, так что, возможно, это могло бы считаться такой теорией, если рассматривать ее фундаментально; или, поскольку топосы описываются с помощью теории категорий, возможно, теория категорий, если рассматривать ее в основе, является такой теорией. Так ли это на самом деле, или на самом деле константа ввезена каким-то другим (хитрым) путем?
Конечно, есть теории без констант — просто возьмите любую теорию и отбросьте все ссылки на константы; мы даже можем найти полезные примеры — куча , которая по существу моделирует группу с ее действием сопряжения (а также, что довольно забавно, является естественным примером математической структуры с тернарной , а не бинарной операцией); вопрос, который я задаю, заключается в том, что он должен иметь основополагающий характер — как ZFC, теория категорий или аксиомы Пеано.
Я думаю, что ни одна из стандартных фундаментальных теорий математики не использует константы по существу.
В примере ZFC в языке нет постоянных символов, и обычно считается, что официальный формальный язык теории множеств имеет только отношение принадлежности к множеству ∈ и равенство без констант. Как говорит Ниль в комментариях, аксиома бесконечности утверждает существование объекта (индуктивного множества), но это утверждение существования можно сделать без обязательного введения каких-либо констант.
В случае арифметики, хотя обычные аксиоматизации PA включают две константы, одну для 0 и одну для 1, на самом деле обе они могут быть опущены без ущерба для выразимости теории. Причина в том, что 0 является определимым объектом, поскольку это единственное натуральное число, которое не является S(x) для любого x, и поэтому нам не нужен постоянный символ 0 для ссылки на него. Точно так же число 1 можно определить как преемника уникального объекта, который не является преемником, и поэтому нам не нужна 1 в языке.
Таким образом, кажется, что ответ на ваш вопрос заключается в том, что да, действительно, существуют фундаментальные теории математики без констант, и стандартные фундаментальные теории арифметики и теории множеств могут быть реализованы без констант.
Ниэль де Бодрап
Ниэль де Бодрап
Мозибур Улла
Ниэль де Бодрап
Малыш дракон