Связь между теоремой Нётер и классическими определениями энергии/импульса

Я думаю, что у вас соответствия в классической механике немного вывернуты наизнанку.

Когда вы интегрируете какую-то переменную, вы фактически избавляетесь от нее. Например, если вы вычисляете среднюю скорость, вы будете интегрировать ее по времени, чтобы избавиться от колебаний во времени. Точно так же в многомерных распределениях вероятностей, если вы хотите избавиться от одной переменной, вы «маргинализируете» ее, которая представляет собой просто интеграл по переменной, от которой вы хотите избавиться.

Итак, когда вы интегрируете по пространству, вы избавляетесь от пространства, оставляя только время, а когда вы интегрируете по времени, вы избавляетесь от времени, оставляя только пространство. Таким образом, соответствия одинаковы и классически, и релятивистски, и согласно теореме Нётер. В каждом случае энергия соответствует времени, а импульс соответствует пространству.

Если вы присмотритесь, то обнаружите, что вы работаете с размерными соответствиями в единицах измерения. Единицей энергии является сила$\times$расстояние, единицей импульса является сила$\times$время (ваша первая пара отношений). Скорость имеет единицы измерения расстояния/времени, поэтому, умножая или деля на скорость света, вы можете преобразовать одну пару размерных отношений в другую (получив вторую пару отношений). Если в этом и есть какой-то более глубокий «смысл», так это то, что специальная теория относительности показывает, как и почему$c$должны войти в уравнения положения и импульса.

1. Ньютоновское наблюдение ОП (1) обобщается даже на специальную теорию относительности . 4 силы

   $${\bf F}~=~\frac{d{\bf P}}{d\tau}~=~\gamma \begin{bmatrix} {\bf f}\cdot \color{red}{{\bf u}/c} \cr {\bf f}\end{bmatrix}\tag{A}$$ связано с 3-силой $${\bf f}~=~\frac{d{\bf p}}{dt}, \qquad {\bf p} ~=~m_0 \gamma {\bf u}, \tag{B}$$ через то, что на первый взгляд появляется в ур. (A) быть «перевернутой» версией $$\begin{bmatrix} \color{red}{\bf u} \cr \color{red}{c}\end{bmatrix} \tag{C}$$ 4 -скоростной $${\bf U}~=~\frac{d{\bf X}}{d\tau}~=~\gamma \begin{bmatrix} \color{red}{c} \cr \color{red}{\bf u}\end{bmatrix}, \qquad {\bf X}~=~\begin{bmatrix} ct \cr {\bf x}\end{bmatrix}, \tag{D}$$ [если мы игнорируем очевидное несоответствие (2) между 3-вектором и 1-вектором]. Но (i) 3-сила${\bf f}$не является лоренц-ковариантным объектом, и (ii)${\bf f}$и${\bf u}$не являются полностью независимыми, поэтому наблюдение OP (1) не означает, что «перевернутая» 4-скорость/4-позиция (2) имеет какое-либо (ковариантное) значение.

2. С другой стороны, в точечной механике действительно заряд Нётер

   $$Q~=~ {\bf P} \cdot \delta{\bf X}\tag{E}$$ является 4-произведением Минковского между 4-импульсом и 4-вектором симметрии пространства-времени$\delta{\bf X}$действия$S$, ср. например, экв. (7) в моем ответе Phys.SE здесь . Это подтверждает обычную двойственность (5).

Физическое мышление может помочь по сравнению с математическими подходами:

Теорема Нётер — единственная, которая устанавливает соответствия, согласно которым энергия есть не что иное, как сохраняющийся заряд симметрии переноса времени, а импульс — сохраняющийся заряд симметрии переноса пространства. Эти соответствия являются прямым следствием теоремы Нётер.

Для ваших классических соответствий:

1) Первые соответствия не имеют физического смысла. 2) Приведенные выше уравнения дают изменение кинетической энергии или импульса, а не абсолютные значения. И только потому, что вы получили два идентичных уравнения, не означает, что вы можете играть с ними, чтобы установить какие-либо физические соответствия. 3) Понятие заряда определено только для симметрии.

Поэтому первые выводы совершенно неверны и не имеют физического смысла.