Тензор энергии-импульса для пыли

Резюме: Я нашел два разных выражения для электромагнитного тензора пыли, и оба вывода кажутся мне правильными.

Учитывая действие для системы пыли

$$S =-\sum m_q \int \sqrt{g_{\mu\nu}[x_q(\lambda)]\dot{x}^\mu_q(\lambda)\dot{x}^\nu_q(\lambda)} d\lambda,$$ где я использую$(+,-,-,-)$соглашение о подписи. Тензор энергии-импульса (EMT) определяется изменением метрики

$$\delta S = \frac{1}{2}\int T_{\mu\nu} \delta g^{\mu\nu} \sqrt{g} d^4x.$$

Чтобы вычислить это, я использую два разных подхода, первый, потому что я хочу варьировать$g^{\mu\nu}$мне кажется лучше написать$S =-\sum m_q \int \sqrt{g^{\mu\nu}[x_q(\lambda)]\dot{x}_{q\mu}(\lambda)\dot{x}_{q\nu}(\lambda)} d\lambda$. Затем

$$\delta S = -\sum m_q \int \frac{\dot{x}_{q\mu}(\lambda)\dot{x}_{q\nu}(\lambda)}{2\sqrt{g^{\mu\nu}[x_q(\lambda)]\dot{x}_{q\mu}(\lambda)\dot{x}_{q\nu}(\lambda)}} \delta g^{\mu\nu}d\lambda.$$

И умножение на$1=\int \delta^{(4)}(x^\mu - x^{\mu}_q(\lambda))\frac{\sqrt{g}}{\sqrt{g}} d^4x$

$$\delta S = -\frac{1}{2}\sum m_q \int \frac{\delta^{(4)}(x^\mu - x^{\mu}_q(\lambda))\dot{x}_{q\mu}(\lambda)\dot{x}_{q\nu}(\lambda)}{\sqrt{g}\sqrt{g^{\mu\nu}[x_q(\lambda)]\dot{x}_{q\mu}(\lambda)\dot{x}_{q\nu}(\lambda)}} \delta g^{\mu\nu}d\lambda \sqrt{g}d^4x.$$

Предоставление

$$T_{\mu\nu} = -\sum m_q \int \frac{\delta^{(4)}(x^\mu - x^{\mu}_q(\lambda))\dot{x}_{q\mu}(\lambda)\dot{x}_{q\nu}(\lambda)}{\sqrt{g}\sqrt{g^{\mu\nu}[x_q(\lambda)]\dot{x}_{q\mu}(\lambda)\dot{x}_{q\nu}(\lambda)}} d\lambda.$$

Второй подход заключается в изменении$g_{\mu\nu}$, делая точно такие же шаги, которые я получаю

$$\delta S = -\frac{1}{2}\sum m_q \int \frac{\delta^{(4)}(x^\mu - x^{\mu}_q(\lambda))\dot{x}^\mu_{q}(\lambda)\dot{x}_{q}^\nu(\lambda)}{\sqrt{g}\sqrt{g_{\mu\nu}[x_q(\lambda)]\dot{x}_{q}^\mu(\lambda)\dot{x}_{q}^\nu(\lambda)}} \delta g_{\mu\nu}d\lambda \sqrt{g}d^4x.$$

Теперь, потому что$0=\delta(g_{\mu\nu}g^{\nu\lambda})$мы должны иметь$\delta g_{\mu\nu} = -g_{\mu\alpha}g_{\nu\beta}\delta g^{\alpha\beta}$так что я нахожу

$$\delta S = \frac{1}{2}\sum m_q \int \frac{\delta^{(4)}(x^\mu - x^{\mu}_q(\lambda))\dot{x}_{q\mu}(\lambda)\dot{x}_{q\nu}(\lambda)}{\sqrt{g}\sqrt{g^{\mu\nu}[x_q(\lambda)]\dot{x}_{q\mu}(\lambda)\dot{x}_{q\nu}(\lambda)}} \delta g^{\mu\nu}d\lambda \sqrt{g}d^4x.$$

Давая ЕМТ равным, но с отрицательным знаком. Второй кажется лучше, т.к. дает ограниченную снизу плотность энергии, а первый нет, но я не вижу ошибки. Кроме того, поскольку два вывода очень похожи, я не думаю, что алгебраическая ошибка может объяснить такое различие, поэтому ошибка должна быть концептуальной.