Один студент задал мне задачу о выводе 3-формного уравнения Эйнштейна, полученного из действия Палатини. Он опубликовал несколько фотографий книги, которую читал.
Сначала я вывожу гравитационную часть из действия Платини, которое гласит (для упрощения я считаю космологическую постоянную равной нулю, поэтому термин исчезает∫− г−−−√г4Икс2 Л = 0
):
СгдельтаСг"="12 к∫г4Икс− г−−−√р−→−−−−−−−−−−−−−−−ϵяДжКлея∧еДж∧рКл= - 2 | е | ргИкс4− 14 к∫ϵяДжКлея∧еДж∧рКл"="− 14 к∫Тр ( е ∧ е ∧ R )"="− 14 кдельта∫Тр ( е ∧ е ∧ р ) знак равно− 12 к∫Тр ( δе ∧ е ∧ р ) +− 14 к∫Tr ( e ∧ e ∧ δР )( Тр ( δe ∧ e ∧ R ) + Tr ( e ∧ δe ∧ R ) = 2 Tr ( δе ∧ е ∧ р ) )
Эти две части можно рассчитать как
∫Тр ( δе ∧ е ∧ р )∫Tr ( e ∧ e ∧ δР )= ∫Tr ( e ∧ R ∧ δе ) = ∫ϵяДжКлея∧рДжК∧ δел= ∫гTr ( e ∧ e ∧ δω ) − 2 ∫Tr ( D e ∧ e ∧ δω ) = − 2 ∫Тр ( Т∧ е ∧ δω )( R = дω + ω ∧ ω,Дея= дея+юяДж∧еДж"="Тя)
Затем перейдите к части поля материи:
дельтаСм1| е |дельта( | э |лм)* (Тλлдельтаелλ)= ∫г4Иксдельта(− г−−−√лм)−→−−−−−−−−−−−−−−−− г= - дет (гмк ν) = дет ( е)2= | е|2∫г4Иксдельта( | э |лм) = ∫| е |г4Икс1| е |дельта( | э |лм)= ∫В1| е |дельта( | э |лм) = ∫* (1| е |дельта( | э |лм) )"="1− г−−−√дельта(− г−−−√лм)дельтагα λдельтагα λ= (дельталмдельтагα λ−12гα λлм) δгα λ= -12Тα λдельтагα λ= -12Тα ληНл(еНα+дельтаλαдельталНелλ) δелλ= -12(Тα λеα л+Тλ λеλ л) δелλ= -Тλлдельтаелλ"="| е |( 4 − 0 ) !Тλлдельтаелλϵмк νρ λгИксмю∧ дИксν∧ дИкср∧ дИксλ"="14Тл∧ δел
Выше при выводе я использовал 4-форму определения тензора энергии-импульса и 3-форму определения тензора энергии-импульса.
ВТл= | е |г4х =14 !ϵяДжКлеямюеДжνеКрелλгИксмю∧ дИксν∧ дИкср∧ дИксλ"="14 !ϵяДжКлея∧еДж∧еК∧ел= | е |Тλлηλ"="| е |3 !Тλлϵмк νρ λгИксмю∧ дИксν∧ дИкср
Когда мы рассматриваем пространство-время с нулевым кручением (
Т= 0
), то мы столкнемся с уравнением Эйнштейна в 3-форме:
ϵяДжКлея∧рДжК"="κ2Тл
Который
4 πг
коэффициент гравитации, а не
2 πг
на книге.
Может ли кто-нибудь сказать мне, где я ошибся?
Блажей
Том Гао
Qмеханик
Том Гао