Тензор энергии-импульса в КТП и ОТО

Вы должны подумать о том, как получается ток Нётер. Когда преобразование бесконечно малой симметрии становится зависимым от пространства-времени, то параметры$\omega^a$которые управляют симметрией, взяты как функции точки пространства-времени$\omega^a=\omega^a(x)$, действие больше не остается инвариантным

$$\delta S=-\int d^D x\, J^{a\,\mu}(x)\partial_\mu \omega^a(x)$$ а скорее дает определение текущего $J^{a\,\mu}$который сохраняется в оболочке.

Теперь давайте рассмотрим случай тензора энергии-импульса: в этом случае переносы$x^\nu\rightarrow x^\nu+\omega^\nu$сделаны местными$x^\nu\rightarrow x^\nu+\omega^\nu(x)$чтобы

$$\delta S=-\int d^D x\, T_\nu^\mu(x)\,\partial_\mu \omega^\nu(x)\,.$$ На самом деле ищется симметричный тензор $T^{\mu\nu}=T^{\nu\mu}$так что можно переписать приведенное выше выражение в следующем виде $$\delta S=-\frac{1}{2}\int d^D x\, T^{\nu\mu}(x)\,(\partial_\mu \omega_\nu(x)+\partial_\nu\omega_\mu)\,.$$ Вот в чем загвоздка: если бы мы преобразовали метрику пространства-времени $g_{\mu\nu}$(равно $\eta_{\mu\nu}$в данном случае) как бы $x^\nu\rightarrow x^\nu+\omega^\nu(x)$было просто бесконечно малой заменой координат, т. $$g_{\mu\nu}\rightarrow g_{\mu\nu}-(\partial_\mu \omega_\nu(x)+\partial_\nu\omega_\mu)\,,$$ то действие (делает координаты независимыми за счет включения метрики обычным способом, например $d^D x\rightarrow d^D x \sqrt{|g|}\,,\ldots$) останется инвариантным $$\delta S=-\frac{1}{2}\int d^D x\, (\partial_\mu \omega_\nu(x)+\partial_\nu\omega_\mu)\left. \left(\sqrt{|g|}\,T^{\mu\nu}(x)+2\frac{\delta S(x)}{\delta g_{\mu\nu}}\right)\right|_{g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}}=0\,.$$ Из этого уравнения следует, что ток, связанный с перемещением пространства-времени, можно записать как $$T^{\mu\nu}=\left. -\frac{2}{\sqrt{|g|}}\frac{\delta S}{\delta g_{\mu\nu}}\right|_{g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}} \qquad \mbox{evaluated on the bkg }g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}\,.$$ Должно быть очевидно, что это определение дает симметричный тензор энергии-импульса, который соответствует тому, что появляется в уравнениях Эйнштейна. Из приведенного выше вывода также должно быть ясно, что альтернативные версии $T_{\mu\nu}$возникают потому, что определение $T^{\mu\nu}$через вариацию действия, когда перевод делается пространственно-временно-зависимым, не фиксирует его однозначно. Например, при наличии действительного $T_{\mu\nu}$, всегда можно определить другой $T^{\mu\nu}\rightarrow T^{\mu\nu}_B=T^{\mu\nu}+\partial_\rho B^{\rho\mu\nu}$с произвольным $B^{\rho\mu\nu}=-B^{\mu\rho\sigma}$что также дает $$\delta S=-\int d^D x\, T^{\mu\nu}(x)\partial_\mu\omega_\nu(x)=-\int d^D x\, T_B^{\mu\nu}(x)\partial_\mu\omega_\nu(x)$$ с точностью до интегрирования по частям. Уравнения Эйнштейна разрушают это вырождение и точно определяют «тензор энергии-импульса».

Пусть задано общее ковариантное действие материи

$$S~=~ \int \! d^4x~ {\cal L}, \qquad {\cal L}~=~e L, \qquad L~=~L(\Phi,\nabla_a\Phi). \tag{1}$$

Основной стратегией будет требование, чтобы поля материи$\Phi^A$иметь плоские, а не изогнутые индексы$^1$. Это достигается с помощью vielbein $e^a{}_{\mu}$, куда

$$g_{\mu\nu}~=~e^a{}_{\mu} ~\eta_{ab}~e^b{}_{\nu}, \qquad e^a{}_{\mu}~ E^{\mu}{}_b~=~\delta^a_b, \qquad E^{\mu}{}_a~e^a{}_{\nu}~=~\delta^{\mu}_{\nu}, \tag{2}$$

$$e~:=~\det(e^a{}_{\mu})~=~\sqrt{|g|}, \tag{3}$$

и спиновое соединение $\omega_{\mu}{}^a{}_b$совместим с символами Леви-Чивиты Кристоффеля $\Gamma_{\mu\nu}^{\lambda}$,

$$0~=~(\nabla_{\mu}e)^{a}{}_{\nu}~=~\partial_{\mu}e^{a}{}_{\nu} +\omega_{\mu}{}^a{}_b ~e^b{}_{\nu}- e^a{}_{\lambda}~\Gamma_{\mu\nu}^{\lambda}.\tag{4}$$

Другими словами, спиновая связь$\omega_{\mu}{}^a{}_b$однозначно определяется

$$2\omega_{\mu, ab}~=~2\left(-\partial_{\mu}e_{a\nu} +e_{a\lambda}~\Gamma_{\mu\nu}^{\lambda}\right)E^{\nu}{}_b ~=~-\left(\partial_{\mu}e_{a\nu} +\partial_a g_{\mu\nu}\right)E^{\nu}{}_b -(a\leftrightarrow b)$$ $$~=~-\partial_{\mu}e_{a\nu}~E^{\nu}{}_b-\partial_a e_{b\mu} + g_{\mu\nu}~\partial_a E^{\nu}{}_b -(a\leftrightarrow b),\tag{5}$$

$$2\omega_{c, ab}~:=~2E^{\mu}{}_c~\omega_{\mu, ab} ~=~-f_{cab}-f_{abc}-f_{acb}-(a\leftrightarrow b), \tag{6}$$

$$f_{abc}~:=~\partial_a e_{b\nu}~E^{\nu}{}_c . \tag{7}$$

Ковариантная производная полей материи имеет вид

$$(\nabla_{\mu}-\partial_{\mu})\Phi^A ~=~ \omega_{\mu}{}^{a}{}_{b} ~(\Delta_a{}^b)^A{}_B~\Phi^B.\tag{8}$$

Из-за антисимметрии спиновой связи$\omega_{c, ab}=-\omega_{c, ba}$, всегда можно записать ковариантную производную полей материи как

$$(\nabla_c-\partial_c)\Phi^A ~:=~ E^{\mu}{}_c ~(\nabla_{\mu}-\partial_{\mu})\Phi^A ~=~ \frac{1}{2}\omega_{c,ab} ~(\Sigma^{ab}\Phi)^A,\tag{9}$$ $$(\Sigma^{ab}\Phi)^A~:=~(\Sigma^{ab})^A{}_B~\Phi^B \tag{10}$$

куда$(\Sigma^{ab})^A{}_B$является представлением$so(3,1)$Алгебра Лоренца Ли

$$[\Sigma^{ab},\Sigma^{cd}] ~=~ \left(\eta^{bc} \Sigma^{ad} - (a \leftrightarrow b)\right) -(c\leftrightarrow d), \qquad \Sigma^{ab}~=~-\Sigma^{ba}.\tag{11}$$

II) Ковариантные уравнения Эйлера-Лагранжа для полей материи$\Phi^A$читать

$$0~\stackrel{m}{\approx}~\frac{\delta S}{\delta \Phi^A} ~=~\frac{\partial {\cal L}}{\partial \Phi^A} -{\cal P}^{\mu}_A \stackrel{\leftarrow}{\nabla_{\mu}} , \qquad {\cal P}^{\mu}_A \stackrel{\leftarrow}{\nabla_{\mu}} ~:=~{\cal P}^{\mu}_A \stackrel{\leftarrow}{\partial_{\mu}} -{\cal P}^{\mu}_B~\omega_{\mu,ab}~(\Sigma^{ab})^B{}_A,\qquad \tag{12}$$

где лагранжевы импульсы

$${\cal P}^{\mu}_A ~:=~\frac{\partial {\cal L}}{\partial (\partial_{\mu}\Phi)^A} ~=~E^{\mu}{}_a ~{\cal P}^a_A,\qquad {\cal P}^a_A~:=~\frac{\partial {\cal L}}{\partial (\nabla_a\Phi)^A}. \tag{13}$$

[Здесь$\stackrel{m}{\approx}$символ означает равенство по модулю материи eoms.]

III) Плотность тензора улучшений Белинфанте определяется как

$$2{\cal B}^{\lambda\mu,\nu} ~:=~{\cal H}^{\lambda,\mu\nu}-{\cal H}^{\mu,\lambda\nu}-{\cal H}^{\nu,\lambda\mu}~=~-(\lambda \leftrightarrow \mu),\tag{14}$$

или наоборот

$${\cal H}^{\lambda,\mu\nu}~=~{\cal B}^{\lambda\mu,\nu}-{\cal B}^{\lambda\nu,\mu}~=~-(\mu \leftrightarrow \nu),\tag{15}$$

куда

$${\cal H}^{\lambda,\mu\nu}~:=~{\cal H}^{\lambda,ab}~E^{\mu}{}_a~E^{\nu}{}_b\qquad {\cal H}^{\lambda,ab}~:=~{\cal P}^{\lambda}_A~(\Sigma^{ab}\Phi)^A. \tag{16}$$

IV) Вариация действия материи$S$относительно доходность

$$\delta S ~=~\int \! d^4x\left[L~\delta e +e\frac{\partial L}{\partial(\nabla_c\Phi)^A}~ \delta (\nabla_c\Phi)^A\right] ~=~\int \! d^4x\left[L~\delta e +{\cal P}^c_A~\delta (\nabla_c\Phi)^A\right] ,\qquad \tag{17}$$

или же,

$$\delta S -\int \! d^4x\left[L~\delta e + {\cal P}^c_A~\delta E^{\mu}{}_c~ \partial_{\mu}\Phi^A\right] ~\stackrel{(17)}{=}~ \frac{1}{2}\int \! d^4x~{\cal P}^c_A~\delta \omega_{c,ab}~(\Sigma^{ab}\Phi)^A$$ $$~\stackrel{(16)}{=}~ \frac{1}{2}\int \! d^4x~{\cal H}^{c,ab}~ \delta \omega_{c,ab} ~\stackrel{(6)+(14)}{=}~\int \! d^4x~{\cal B}^{cb,a}~ \delta f_{cab}$$ $$~=~\int \! d^4x~{\cal B}^{cb}{}_a~ \delta f_c{}^a{}_b ~\stackrel{(7)}{=}~\int \! d^4x~{\cal B}^{\lambda b}{}_a\left[ \partial_{\lambda} e^a{}_{\nu}~\delta E^{\nu}{}_b +\partial_{\lambda} \delta e^a{}_{\nu}~ E^{\nu}{}_b \right].\tag{18}$$

V) Основная плотность тензора Гильберта SEM$^2$определяется как

$${\cal T}^{\mu\nu}~:=~-2\frac{\delta S_m}{\delta g_{\mu\nu}}, \qquad\qquad(\leftarrow\text{Not applicable!})\tag{19}$$

но эта формула (19) неприменима, например, к фермионной материи в искривленном пространстве-времени. Вместо этого обобщенная тензорная плотность Гильберта SEM определяется как

$${\cal T}^{\mu}{}_{\nu} ~:=~-\frac{\delta S}{\delta e^a{}_{\mu}}e^a{}_{\nu} ~=~E^{\mu}{}_a\frac{\delta S}{\delta E^{\nu}{}_a} ~\stackrel{(18)}{=}~\Theta^{\mu}{}_{\nu}+d_{\lambda}{\cal B}^{\lambda\mu}{}_{\nu}, \tag{20}$$

куда$\Theta^{\mu}{}_{\nu}$- каноническая плотность тензора SEM

$$\Theta^{\mu}{}_{\nu} ~:=~ {\cal P}^{\mu}_A~\partial_{\nu}\Phi^A- \delta^{\mu}_{\nu}{\cal L}.\tag{21}$$

Последнее выражение в уравнении (20) является ответом на вопрос OP о разнице между гильбертовой плотностью тензора SEM (20) и канонической плотностью тензора SEM (21). Это дается тензорной плотностью улучшения Белинфанте (14).

IV) Плотность тензора Гильберта SEM (20) симметрична на оболочке

$${\cal T}^{\mu\nu}~\stackrel{m}{\approx}~{\cal T}^{\nu\mu}, \tag{22}$$

ср. например, мой ответ Phys.SE здесь , который также объясняет связь с теоремами Нётер.

уравнения Из (15), (20) и (22) следует, что антисимметричная часть канонической тензорной плотности СЭМ (21) равна

$$\Theta^{\mu\nu}-\Theta^{\nu\mu} ~\stackrel{m}{\approx}~d_{\lambda}{\cal H}^{\lambda,\nu\mu}.\tag{23}$$

Использованная литература:

1. MJ Gotay & JE Marsden, Тензоры напряжения-энергии-импульса и формула Белинфанте-Розенфельда , Contemp. Мат. 132 (1992) 367 .

2. М. Форгер и Х. Ремер, Токи и тензор энергии-импульса в классической теории поля: свежий взгляд на старую проблему, Annals Phys. 309 (2004) 306, arXiv:hep-th/0307199 .

3. Л. Б. Сабадош, Квазилокальная энергия-импульс и угловой момент в общей теории относительности, Liv. Преподобный Отн. 12 (2009) 4 ; Раздел 2.1.1 с. 11.

4. А. Бандиопадхьяй, Улучшение тензора энергии-импульса с использованием пространственно-временных симметрий , докторская диссертация (2001 г.); Глава 2 и 3.

(Совет по ссылкам 1 и 2: Давид Бар Моше . Совет по ссылкам 3 и 4: Константин Константинов .)

--

$^1$Условные обозначения: в этом ответе мы будем использовать$(+,-,-,-)$Соглашение о знаках Минковского. Греческие индексы$\mu,\nu,\lambda, \ldots,$являются так называемыми кривыми индексами, а римские индексы$a,b,c, \ldots,$так называемые плоские индексы. Заглавные римские индексы$A,B,C, \ldots,$обозначают множественные плоские или спинориальные индексы.

$^2$Тензорная плотность ${\cal T}^{\mu\nu}=e T^{\mu\nu}$в этом контексте просто тензор$T^{\mu\nu}$умножить на плотность$e$.