Эквивалентность двух определений тензора энергии-импульса в общей теории относительности

Что вас по существу интересует, так это эквивалентность между каноническим и гильбертовым тензорами энергии-импульса.

Мне также приходит в голову, что понятие канонического тензора можно сделать более ясным. Я не буду приводить много точных доказательств, но постараюсь сделать для вас «правдоподобным».

Законы сохранения:

Чтобы понять канонический тензор, вам нужно понять законы сохранения. В классической механике (нерелятивистской)$Q$является сохраняющимся зарядом, если$Q$это функция

$$Q:T\mathcal C\rightarrow \mathbb R,\ (q,\dot q)\mapsto Q(q,\dot q)$$ в фазовом пространстве (в данном случае, в фазовом пространстве скорости, но вы также можете сделать это через фазовое пространство импульса в гамильтоновой механике), удовлетворяя следующему:

Если$q(t)$есть траектория, удовлетворяющая уравнениям движения, то по этим траекториям

$$\frac{d}{dt}Q(q(t),\dot q(t))=0.$$

В классической теории поля закон сохранения задается уравнением неразрывности. Если$\rho$является скалярным полем и$\mathbf j$векторное поле, то уравнение неразрывности имеет вид

$$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\boldsymbol\nabla\cdot\mathbf j=0,$$ где $\rho$- плотность некоторого количества, и $\mathbf j$- плотность тока или плотность потока той же величины.

Этот закон сохранения является локальным и может быть превращен в «глобальный» закон сохранения в форме классического механического закона. Давайте определим

$$Q(t)=\int d^3x\ \rho(\mathbf x,t),$$ где интеграл распространяется на все пространство в момент времени $t$. Производная по времени от $Q$затем $$\frac{dQ}{dt}=\int d^3x\frac{\partial\rho}{\partial t}=-\int d^3x\ \boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf j=-\int_{\partial\mathbb R^3}d\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf j,$$ где при последнем равенстве использована теорема Гаусса. Если плотность тока $\mathbf j$локализована и не продолжается в бесконечность, то граничный член обращается в нуль, поэтому имеем $dQ/dt=0$.

В релятивистской теории поля (с$c=1$), уравнение неразрывности имеет вид

$$\partial_\mu j^\mu=0,$$ где $(j^\mu)=(\rho,\mathbf j)$. Это точно то же самое, что и раньше, единственная дополнительная информация заключается в том, что плотность $\rho$и текущий $\mathbf j$необходимо вместе сформировать 4-вектор, чтобы быть лоренц-ковариантным.

Энергия и импульс:

Рассмотрим некоторое произвольное поле. Поле имеет полную энергию$E$. Эта энергия крайне нелокальна, это в основном энергия всего поля, простирающегося на все пространство. Мы ожидаем, что полной энергии можно приписать локальную плотность$\rho$и плотность тока$\mathbf S$, удовлетворяющий

$$E=\int d^3x\ \rho(\mathbf x,t)$$ и $$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\boldsymbol\nabla\cdot\mathbf S=0.$$

Поле также имеет полный импульс$\mathbf P$с декартовыми компонентами$P^i$. $i$компонент имеет плотность импульса$\pi^i$, что удовлетворяет

$$P^i=\int d^3x\ \pi^i(\mathbf x,t),$$ и плотность тока $\boldsymbol\sigma^i$, которые вместе подчиняются уравнению неразрывности $$\frac{\partial\pi^j}{\partial t}+\boldsymbol\nabla\cdot\boldsymbol{\sigma}^j=0.$$ В компонентах это $$\frac{\partial \pi^j}{\partial t}+\frac{\partial\sigma^{ij}}{\partial x^i}=0,$$ где $\sigma$— тензор второго порядка, называемый тензором напряжений.

В теории относительности энергия и импульс объединены в единый 4-вектор, 4-импульс:

$$(p^\mu)=(E,\mathbf p),$$ так что мы имеем единое отношение $$P^\mu=\int d^3x\ \pi^\mu,$$ а уравнение неразрывности $$\frac{\partial\pi^\nu}{\partial t}+\frac{\partial\sigma^{i\nu}}{\partial x^i}=0.$$ Это релятивистски инвариантно, если мы можем записать это как $$0=\partial_\mu T^{\mu\nu},$$ где $T^{\mu\nu}$представляет собой тензор Лоренца, называемый тензором энергии-импульса (или энергии-импульса), компоненты которого имеют следующий смысл: $$T^{00}\text{ - Energy density} \\ T^{0i}\text{ - Momentum density} \\ T^{i0}\text{ - Energy flux density/current density} \\ T^{ij}\text{ - Stress tensor/i-th component of the flux density of the j-th momentum component}.$$

Как видите, интерпретация потока здесь выглядит корректно.

Теорема Нётер:

Я хочу быть кратким здесь, так как этот пост и так слишком длинный. Из курса классической механики должно быть ясно следующее :

Каждой бесконечно малой симметрии физической системы соответствует сохраняющийся заряд. Это теорема Нётер. В математической форме изменение$\delta q^i$является бесконечно малой квазисимметрией лагранжиана$L$, если при варьировании переходит в полную производную:

$$\delta L=\frac{d}{dt}K$$ для некоторой функции фазового пространства $K$.

Тогда заряд$Q$данный

$$Q=\frac{\partial L}{\partial\dot q^i}\delta q^i-K$$ сохраняется (имеет $dQ/dt=0$), если выполняются уравнения движения.

В классической механике принято выводить следующее:

• Полная энергия$E$сохраняется, если система инвариантна относительно переносов времени .

• Общий импульс$\mathbf p$сохраняется, если система инвариантна относительно пространственных перемещений .

В теории поля мы используем плотность Лагранжа$\mathcal L$формулировать теории. Имеется соответствующий результат, также называемый теоремой Нётер. Пусть динамические поля обозначаются через$\phi^a(\mathbf x,t)$. Вариация$\delta\phi^a$является квазисимметрией системы, если лагранжиан изменяется как$\delta\mathcal L=\partial_\mu K^\mu,$где$K^\mu$некоторое 4-векторное поле. Для такой квазисимметрии ток

$$j^\mu=\frac{\partial\mathcal L}{\partial\partial_\mu\phi^a}\delta\phi^a-K^\mu$$ удовлетворяет $$\partial_\mu j^\mu=0,$$ при условии выполнения уравнений движения.

Если лагранжиан не имеет явной зависимости от пространственно-временных координат, то пространственно-временной перенос$x^\mu\mapsto x^\mu+a^\mu$для некоторого постоянного 4-вектора$a^\mu$является квазисимметрией.

Применение теоремы Нётер дает, что

$$j^\mu=T^\mu_{\ \nu}a^\nu$$ сохраняется, где $$T^\mu_{\ \ \nu}=\frac{\partial\mathcal L}{\partial\partial_\mu\phi^a}\partial_\nu\phi^a-\delta^\mu_\nu\mathcal L$$ — канонический тензор энергии-импульса.

Если$a^\mu$был действительно произвольным, то$T$сохраняется в том смысле, что$\partial_\mu T^{\mu\nu}=0$. Мы можем определить $T$с тензорным полем, обсуждавшимся ранее, потому что это сохраняющийся ток, связанный с перемещением пространства-времени, поэтому он выражает 4-ток энергии-импульса, который является точно тем же самым, что мы рассматривали ранее более эвристическим образом.

Эквивалентные токи:

Предположим, что$j^\mu$является 4-токовым. Глобально сохраняющийся заряд равен

$$Q=\int d^3x\ j^0.$$ Если $\Sigma^{\mu\nu}$является антисимметричным тензором, то $$\tilde{j}^\mu=j^\mu+\partial_\nu\Sigma^{\mu\nu}$$ создает такой же заряд $Q$, при условии, что $\Sigma$падает на бесконечности. Не стесняйтесь проверить это!

Это важно, потому что в общем случае канонический тензор$T^{\mu\nu}$не обладает некоторыми хорошими свойствами. Это будет

• в общем случае не будет симметричным, но закон сохранения углового момента будет иметь это (посмотрите);

• не быть, вообще говоря, калибровочно-инвариантным для калибровочных теорий, что является большим табу;

• не, вообще быть бесследным для конформно-инвариантных полей, что, если еще раз оплошность.

Для скалярной теории канонический тензор хорош, но если вы вычислите его для электромагнитного поля, он совершит все три преступления, которые я описал выше.

Однако можно сделать преобразование того типа, которое я обрисовал выше, чтобы получить эквивалентный (в том смысле, что он генерирует те же самые глобальные сохраняющиеся заряды) тензор, который удовлетворяет всем трем свойствам. Существует также способ сделать это систематически, который называется тензором Белинфанте-Розенфельда (ищите!). На самом деле это тензор Белинфанте, которому равен тензор Гильберта .

Тензор Гильберта:

Здесь я попытаюсь обосновать, что тензор Гильберта — это то же самое, что и тензор, эквивалентный каноническому тензору (эквивалентность в том смысле, который был определен ранее).

Ковариантный закон сохранения для тензора Гильберта может быть получен из результата, подобного теореме Нётер (это связано с тем, что называется второй теоремой Нётер), применительно к инвариантности диффеоморфизма (координатной инвариантности) ОТО. Рассмотрим поле материи$\psi$с общековариантным лагранжианом$\mathcal L_m$. Действие

$$S[\psi,g]=\int d^4x\ \mathcal L_m.$$

Преобразование бесконечно малых координат действует на поля через производную Ли, поэтому, если мы имеем$x^\mu\mapsto x^\mu+\epsilon \xi^\mu(x)$(с векторным полем$\xi^\mu$обращается в нуль на границе интегрирования), то имеем$\delta\psi=\mathcal L_\xi\psi$и$\delta g_{\mu\nu}=\mathcal L_\xi g_{\mu\nu}$.

Изменение в действии

$$\delta S=\int d^4x\left(\frac{\delta S}{\delta\psi}\delta\psi+\frac{\delta S}{\delta g_{\mu\nu}}\delta g_{\mu\nu}\right).$$

Если уравнения движения материи удовлетворяются, то первая функциональная производная (по$\psi$) исчезает, поэтому остается

$$\delta S=\int d^4x\ \frac{\delta S}{\delta g_{\mu\nu}}\delta g_{\mu\nu}.$$

Действие совершенно не зависит от координат, поэтому вариация обязательно равна нулю. Производная Ли метрики может быть записана как

$$\mathcal L_\xi g_{\mu\nu}=\nabla_\mu\xi_\nu+\nabla_\nu\xi_\mu.$$

Давайте определим

$$T^{\mu\nu}=\frac{2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta S}{\delta g_{\mu\nu}}.$$ У нас есть тогда $$\delta S=\int d^4x\sqrt{-g}\frac{1}{2}T^{\mu\nu}(\nabla_\mu\xi_\nu+\nabla_\nu\xi_\mu)=\int d^4x\sqrt{-g}\ T^{\mu\nu}\nabla_\mu\xi_\nu=0,$$ где я использовал тот факт, что это $T$симметричен по конструкции. Потому что $\xi$обращается в нуль на границе, мы можем переписать это как $$0=\delta S=\int d^4x\sqrt{-g}\nabla_\mu T^{\mu\nu}\xi_\nu,$$ и с тех пор $\xi$было произвольным, мы имеем $$\nabla_\mu T^{\mu\nu}=0.$$

Теперь, чтобы мотивировать эквивалентность с каноническим тензором. Я не буду доказывать это здесь, но можно показать (это не тривиально — в основном теорема Нётер в специальной теории относительности для произвольных преобразований координат несколько двусмысленна), что если в СТО мы рассматриваем «перенос, зависящий от пространства-времени» форма$x^\mu\mapsto x^\mu+\xi^\mu(x)$вместо$x^\mu+a^\mu$(с$a$константа), преобразование больше не будет симметрией , но изменение действия задается выражением

$$\delta S=-\int d^4x\ T^{\mu\nu}\partial_\mu\xi_\nu,$$ где это $T$канонический тензор .

Это не симметрия, а$\delta S$не обращается в нуль, но если выполняются уравнения движения для поля материи, то вариация действия обращается в нуль при произвольных вариациях, так что это выражение по-прежнему равно нулю. Теперь мы предполагаем, что$T$симметричен (помните, что мы можем изменить$T$таким образом, что это соотношение все еще остается верным), то мы имеем

$$\delta S=-\int d^4x\ \frac{1}{2}T^{\mu\nu}(\partial_\mu\xi_\nu+\partial_\nu\xi_\mu).$$ Это отрицательное выражение для тензора Гильберта (в пределе плоского пространства-времени, поэтому $\nabla_\mu\rightarrow\partial_\mu$и $\sqrt{-g}\rightarrow 1$).

Давайте посмотрим, что произошло.

Когда мы рассматривали изменение действия материи в ОТО, мы имели

$$\delta S=\int d^4x\left( \frac{\delta S}{\delta\psi}\delta\psi+\frac{\delta S}{\delta g_{\mu\nu}}\delta g_{\mu\nu}\right),$$ где $\delta S/\delta g_{\mu\nu}$было то, что дало выражение с тензором энергии-импульса.

Когда мы рассматривали изменение действия материи в СТО, мы не меняли метрику Минковского$\eta_{\mu\nu}$. В конце концов, это был «фиксированный» объект. Итак, причина, по которой у нас не было симметрии, заключается в том, что мы «забыли» об этой вариации, поэтому термин

$$-\int d^4x\frac{1}{2} T^{\mu\nu}(\partial_\mu\xi_\nu+\partial_\nu\xi_\mu)$$ это именно минус $\delta S/\delta g_{\mu\nu}$что нам нужно «добавить» к вариации, чтобы получить симметрию.

Следовательно, два тензора энергии-импульса эквивалентны, по крайней мере, в смысле эквивалентности, определенном ранее.

---

Редактировать: мой последний пункт не совсем ясен, поэтому позвольте мне перефразировать его более точно.

Действие материи$S$в специальной теории относительности обозначается как$S_{SR}$, а (модифицированный) канонический тензор как$T^{\mu\nu}_C$. Мы получили (ну, я сказал, что мы получили)

$$\delta S_{SR}=-\int d^4x\ \frac{1}{2}T^{\mu\nu}_C(\partial_\mu\xi_\nu+\partial_\nu\xi_\mu).$$

Напротив, если мы также рассматриваем метрику как динамическое поле, действие обозначается как$S_{GR}$, но я рассматриваю варианты вокруг плоского фона. мы получили

$$\delta S_{GR}=\int d^4x\left(\frac{\delta S}{\delta \psi}\delta\psi+\frac{\delta S}{\delta \eta_{\mu\nu}}\delta\eta_{\mu\nu}\right)=\int d^4x\ \frac{\delta S}{\delta\eta_{\mu\nu}}\delta\eta_{\mu\nu}=\int d^4x\frac{1}{2}T^{\mu\nu}_H(\partial_\mu\xi_\nu+\partial_\nu\xi_\mu)=0,$$ где $T^{\mu\nu}_H$является тензором Гильберта.

Однако эти две вариации отличаются именно метрической вариацией, поэтому мы имеем

$$\delta S_{SR}=\delta S_{GR}-\int d^4x\frac{\delta S}{\delta\eta_{\mu\nu}}\delta\eta_{\mu\nu}=- \int d^4x\frac{\delta S}{\delta\eta_{\mu\nu}}\delta\eta_{\mu\nu},$$ как $\delta S_{GR}=0$, поэтому, если вы вставите сюда выражения, вы увидите, что мы получаем $$-\int d^4x\frac{1}{2}T^{\mu\nu}_C(\partial_\mu\xi+\partial_\nu\xi_\mu)=-\int d^4x\frac{1}{2}T^{\mu\nu}_H(\partial_\mu\xi+\partial_\nu\xi_\mu),$$ следовательно $$T_C\approxeq T_H.$$