Когда тензор энергии-импульса определяется как вариация действия относительно сохраняющейся метрики?

На самом деле, метрическое вариационное определение тензора энергии-импульса (данное Гильберту, как заметил Qmechanic) является универсальной процедурой улучшения канонического тензора-энергии-импульса (и, следовательно, не всегда совпадает с последним) в том смысле, что быть уточнены ниже. Такая процедура необходима, потому что канонический тензор энергии-импульса, хотя и всегда сохраняется, часто не удовлетворяет другим физическим требованиям, таким как калибровочная инвариантность (поскольку это наблюдаемая величина), симметрия (необходимая, если мы хотим, чтобы он был источником гравитационного поля). поле) и бесследовость (для локально-масштабных инвариантных теорий). Например, все три требования не выполняются для чистой электродинамики в четырех пространственно-временных измерениях.

Даже если вы имеете дело с теорией поля в пространстве-времени Минковского, она неизбежно связана с гравитацией просто потому, что лагранжиан зависит от метрики пространства-времени (здесь принимается конкретное значение метрики Минковского). Конкретная динамика метрики не имеет значения - все, что нам нужно, это то, что не существует других «внешних» полей, кроме метрики, и чтобы функционал действия поля был инвариантным к диффеоморфизму.

Позволять$L=L(\phi,g)$быть лагранжианом локального поля в пространстве-времени$(M,g)$, а также

$$S_K[\phi,g]=\int_K L(\phi,g)\sqrt{|\det g|}\mathrm{d}x\ ,\quad K\subset M\text{ any bounded region}$$ соответствующий (семейство) функционал(ов) действия, индексированный $K$как указано выше). Мы разрешаем $L$иметь конечную, но в остальном произвольную зависимость порядка от $\phi$а также $g$, и никакой явной пространственно-временной зависимости, поскольку мы хотим, чтобы она не зависела ни от каких других полей. Бесконечно малая вариация $S_K$относительно векторного поля $X$на $M$(т.е. инфинитезимальный диффеоморфизм) задается формулой $$\delta_X S_K[\phi,g]=\int_K\left(\frac{\delta L(\phi,g)}{\delta g_{\mu\nu}}\delta_X g_{\mu\nu}+\frac{\delta L(\phi,g)}{\delta \phi^j}\delta_X \phi^j+\nabla_\mu(T^{\mu\nu}X_\nu)\right)\sqrt{|\det g|}\mathrm{d}x\ ,\quad X_\rho=g_{\rho\sigma}X^\sigma\ ,$$ куда $\frac{\delta L(\phi,g)}{\delta g_{\mu\nu}}$а также $\frac{\delta L(\phi,g)}{\delta \phi^j}$соответственно являются производными Эйлера-Лагранжа (т.е. вариационными) от $L(\phi,g)$в отношении $g$а также $\phi$, $\nabla$является ковариантной производной Леви-Чивиты, связанной с $g$, $T^{\mu\nu}$- (канонический или улучшенный) тензор энергии-импульса, $$\delta_X g_{\mu\nu}=\nabla_\mu X_\nu+\nabla_\nu X_\mu$$ является производной Ли от $g$вместе $X$и бесконечно малая вариация поля $\delta_X\phi^j$зависит от того, как мы поднимаем $X$проектируемому векторному полю на тотальное пространство расслоения над $M$где поля $\phi^j$live (например, если все они являются скалярными полями, мы просто имеем $\delta_X\phi^j=-X\phi^j=-X^\mu\nabla_\mu\phi^j$).

Существует неявное, но решающее требование о допустимых улучшениях для$T^{\mu\nu}$- а именно, улучшенный ток Нётер$j^\mu(L,X)=T^{\mu\nu}X_\nu$связано с предполагаемой симметрией$X$функционала действия должен быть не только линейным по$X$а зависят только от точечных значений $X$(мы называем это свойство ультралокальностью ) — поэтому мы написали его уже как тензорное сжатие. Это требование также влияет в определенной степени на определение$\delta_X\phi^j$, но детали этого не важны в дальнейшем. Почему мы настаиваем на этом требовании? Как мы увидим ниже, ультралокальность выделяет уникальный рецепт улучшения для$T^{\mu\nu}$который, кроме того, удовлетворяет всем физическим требованиям. Эта идея более широко применима к любой локальной симметрии — например, ее можно использовать для улучшения канонического нётеровского тока, связанного с локальными калибровочными симметриями.

Диффеоморфизм-инвариантность функционала действия означает, что мы требуем, чтобы$\delta_X S_K[\phi,g]=0$ для всех $X,\phi,g,K$. Если, кроме того, поля$\phi^j$удовлетворяют уравнениям движения Эйлера-Лагранжа, то

$$2\frac{\delta L(\phi,g)}{\delta g_{\mu\nu}}\nabla_\mu X_\nu+\nabla_\mu(T^{\mu\nu}X_\nu)=\left(2\frac{\delta L(\phi,g)}{\delta g_{\mu\nu}}+T^{\mu\nu}\right)\nabla_\mu X_\nu+X_\nu\nabla_\mu T^{\mu\nu}=0\ .$$ Первое тождество кажется тривиальным, но на самом деле оно следует из ультралокальности улучшенного тока Нётер, как объяснялось выше. С $X$является произвольным, и поэтому мы можем указать $X_\nu$а также $\nabla_\mu X_\nu$независимо в каждой точке $M$, получаем одним махом:

1. Искомая вариационная формула для улучшенного тензора энергии-импульса

   $$T^{\mu\nu}=-2\frac{\delta L(\phi,g)}{\delta g_{\mu\nu}}$$ и, следовательно, симметрия$T^{\mu\nu}=T^{\nu\mu}$;

2. Ковариантный закон сохранения$\nabla_\mu T^{\mu\nu}=0$;

3. Если метрика подчиняется динамике, определяемой лагранжианом$L_G(g)$, тогда$T^{\mu\nu}$автоматически становится источником метрических уравнений движения. Это также гарантирует соблюдение второй теоремы Нётер, как и должно быть - канонический нётеровский ток, связанный с полным (т.е. метрическим + полем) лагранжианом и с$X$по-прежнему обращается в нуль на оболочке, если функционал полного действия также инвариантен к диффеоморфизму.

Хотя это не тривиально показать,$T^{\mu\nu}$также оказывается бесследным, если теория поля проявляет локальную масштабную инвариантность.

Если поля$\phi^j$все скалярны и$L(\phi,g)$является лагранжианом первого порядка в$\phi$с кинетической частью типа Клейна-Гордона и не зависящей от производных$g$, тогда$T^{\mu\nu}$совпадает с каноническим тензором энергии-импульса. Это уже не относится к спинорным полям, чей лагранжиан обычно также зависит от первых производных метрики через спиновую связь, к скалярным полям с неминимальной связью по кривизне или к электромагнитному полю.

Приведенное выше понимание метрического вариационного определения тензора энергии-импульса в полной общности пришло на удивление поздно - оно было основательно развито М. Форгером и Х. Ремером ("Течения и тензор энергии-импульса в классической теории поля: свежий взгляд"). at an Old Problem". Ann.Phys. 309 (2004) 306-389, arXiv:hep-th/0307199 ), чью работу мы горячо рекомендуем для (многих) дополнительных деталей и примеров.

Ну, вы не можете взять любую старую теорию материи в плоском пространстве Минковского и вставить искривленный метрический тензор.$g_{\mu\nu}$по делу действуй как хочешь, если ты на это намекаешь. Предупреждение состоит в том, что результирующее действие материи должно быть общим релятивистским диффеоморфизм-инвариантным функционалом вида

$$S_{\rm m}[\Phi, g]~=~ \int \! d^4x ~\sqrt{|g|}~ L(\Phi,\nabla\Phi, g ).$$ Тогда гильбертовский тензор энергии-импульса-импульса (SEM) сохраняется, ср. например, мои ответы Phys.SE здесь и здесь .