Соединение действия Гильберта с действием материи

… почему нужно просто добавить два действия, а не действие сопряжения?

Один из них добавляет действие сцепления. Когда мы заменяем частные производные, присутствующие в действии материи в плоском пространстве-времени в декартовых координатах, на ковариантные производные и интегрируем с помощью объемной формы искривленного пространства-времени (такой подход называется минимальной связью ), это как раз и есть введение связи.

Легче всего это увидеть, если рассмотреть изменение действия материи при незначительном изменении метрики:$g_{μν}=g^{(0)}_{μν}+δg_{μν}$, который имеет вид:

$$\delta S_\text{matter}=\frac 12 \int T^{μν} δg_{μν} \sqrt{-g}\,d^4x,$$ где$T_{μν}$— тензор энергии-импульса. Если мы рассмотрим фоновое пространство-время с метрикой Минковского$g^{(0)}_{μν}=\eta_{μν}$то этот вариант действия материи имеет интерпретацию действия связи для «поля»$δg_{μν}$с материей через «ток»$T^{μν}$.

На уровне теории возмущений это полностью аналогично действию связи электромагнетизма:

$$S_\text{int}= - \int j^μ A_μ \sqrt{-g}\,d^4x.$$ Но вне слабых гравитационных полей надо учитывать, что ОТО — нелинейная теория, и разделение источников и создаваемых ими полей вообще невозможно.

Двигаясь в обратном направлении, мы могли бы «скрыть» действие связи электромагнетизма, введя калибровочно-ковариантную производную для полей заряженной материи:

$$\partial_μ \to D_μ = \partial_μ -i e A_μ.$$ Заменив все производные в кинетических терминах калибровочно-ковариантными производными, действие для заряженного вещества теперь будет содержать член взаимодействия.

Вообще следует рассматривать калибровочную инвариантность электромагнитной теории и диффеоморфную инвариантность ОТО не просто как избыточность в описании, а как встроенный механизм для введения связей между материей и ЭМ или гравитационными полями.

Например, скажем, я хочу написать действие двух взаимодействующих зарядов в чисто электромагнитной теории. Затем я могу написать действие поля, связанное с двумя точечными зарядами, вместе с действием материи, которое описывает, как заряды взаимодействуют с полем. Затем, чтобы сделать то же самое в общей теории относительности, я думаю, мне просто нужно добавить действие материи, которое дает правильный тензор энергии-импульса к действию Гильберта, но без члена связи.

В ОТО понятие точечной частицы внутренне противоречиво: если мы попытаемся втиснуть конечную массу в достаточно малый объем, эта масса станет черной дырой, так что, хотя, безусловно, можно написать уравнения движения для пробных точечных частиц с учетом полей, которые они при создании требуется какая-то приближенная схема.

Таким образом, расширяя действие в рамках теории возмущений, та часть, где появляется тензор энергии-импульса, будет точно членом связи.