Прямая сумма гильбертовых пространств

Оба других ответа здесь не следуют подходу Уолда напрямую, хотя они все еще примерно верны. Вот ответ, который точно следует его указаниям и показывает большинство деталей. Основываясь на том факте, что вы говорите о QM, я предполагаю, что вы используете комплексные гильбертовы пространства, хотя для реальных гильбертовых пространств нет существенной разницы.

В своем ответе я предполагал некоторое знакомство с реальным анализом, но не с функциональным анализом (поскольку это базовая конструкция функционального анализа). Если вы не знаете, что такое последовательность Коши в метрическом пространстве, вам следует ознакомиться с ней, прежде чем начинать вторую часть. Кроме того, в этом ответе действительно нет физики; это все функциональный анализ (изучение бесконечномерных векторных пространств).

1. Почему$V$имеют структуру пространства внутреннего продукта?

Он определил$V$как подмножество$\times_\alpha {\cal H}_\alpha$где все, кроме конечного числа$\Psi_\alpha$исчезнуть. То есть родовой элемент$V$это выбор$\Psi_\alpha$для каждой альфы, где единственными ненулевыми элементами являются$\Psi_{\alpha_1}, \Psi_{\alpha_2}, \ldots, \Psi_{\alpha_n}$для некоторого положительного целого числа$n$и некоторый выбор индексов$\alpha_1, \ldots, \alpha_n$. Обратите внимание, что разные элементы$\Psi$и$\Psi'$в общем случае будет соответствовать различным положительным целым числам$n$,$n'$и разные индексы$\alpha_1, \ldots, \alpha_n$и$\alpha'_1, \ldots, \alpha'_{n'}$. Для остальной части этого раздела я возьму$\Psi$и$\Psi'$быть двумя общими элементами$V$дается приведенными выше формулами.

Мы хотим добавить внутренний продукт$V$. Обычно для конечных прямых сумм мы хотели бы сделать что-то вроде$\langle \Psi | \Psi' \rangle = \displaystyle \sum_\alpha \langle \Psi_\alpha | \Psi'_\alpha \rangle_{\alpha}$, где$\langle \cdot | \cdot \rangle_\alpha$внутренний продукт на$\mathcal H_\alpha$. Но у нас есть бесконечная сумма, которая не имеет смысла, пока мы не найдем способ ее интерпретировать.

К счастью, на самом деле это не бесконечная сумма именно из-за сделанного нами ограничения. Все члены, кроме конечного числа, равны 0. Для любого$\alpha$чтобы внести ненулевой член, он должен быть членом обоих множеств$\alpha_i$и множество$\alpha'_j$с. Обозначим эти индексы через$\beta$, так что$\{\beta_k\} = \{\alpha_i\} \cap \{\alpha'_j\}$. Теперь мы можем понять приведенную выше сумму, ограничив ее только теми индексами, которые вносят ненулевые члены, так что$\langle \Psi | \Psi' \rangle = \displaystyle \sum_{\beta_k} \langle \Psi_{\beta_k} | \Psi'_{\beta_k} \rangle_{\beta_k}$. С тем же успехом вы могли бы суммировать либо$\alpha_i$или$\alpha'_j$индексы, которые, конечно, по-прежнему будут конечной суммой, но я предпочитаю делать их явно (сопряженными) симметричными таким образом.

Вы должны проверить в этот момент, что аксиомы для внутреннего продукта удовлетворяются этим выбором$\langle \cdot | \cdot \rangle$. Он явно симметричен с точностью до комплексного сопряжения, что нам и нужно для эрмитова скалярного произведения. Тот факт, что он линейный, требует некоторой игры с символами, если вы хотите доказать, хотя направление доказательства должно быть сразу очевидным, если вы следовали вышеизложенному. Положительная определенность наследуется от$\mathcal H_\alpha$. Конкретно,$\| \Psi \|^2 = \langle \Psi | \Psi \rangle = \displaystyle \sum_{\alpha_i} \langle \Psi_{\alpha_i} | \Psi_{\alpha_i} \rangle_{\alpha_i} = \displaystyle \sum_{\alpha_i} \| \Psi_{\alpha_i} \|^2_{\alpha_i}$который представляет собой конечную сумму$n$положительные члены в силу положительной определенности скалярного произведения каждого из прямых слагаемых, поэтому$\| \Psi \|^2 > 0$(пока$n \ne 0$, но$n=0$это тот случай, когда$\Psi = 0$что конечно имеет норму$0$).

Вы можете сказать: «Мне просто нужны исчисляемые прямые суммы, поэтому нельзя ли просто взять предел частичных сумм?». Вы вполне можете это сделать, но это не работает для неисчисляемых прямых сумм (которые вам могут не понадобиться). Вам также необходимо доказать, что способ, которым вы заказываете$\alpha$не меняет конечный результат для любого внутреннего продукта и всевозможных других технических деталей. В конце концов, эти технические детали составляют почти все остальное, что нам нужно сделать в общем случае. Если вы хотите сделать это, вы также должны следовать примечанию в следующем разделе.

2. Как он заключает, что$\sum\limits_i \left\| \Psi_i \right\|_i^2 < \infty$?

Давайте проясним, что теперь мы работаем со счетной прямой суммой, поэтому слагаемые можно выбрать как$\mathcal H_i$для$i=1, 2, \ldots$. Это по-прежнему (потенциально) бесконечный набор, но теперь мы можем написать общий элемент$\times_i {\cal H}_i$как последовательность$\Psi = (\Psi_1, \Psi_2, \ldots)$.$\Psi \in V$означало бы, что все, кроме конечного числа$\Psi_i$являются$0$, или, что то же самое, что существует некоторый индекс$M$такой, что для всех$i > M$,$\Psi_i = 0$.

Давайте также проясним, что он говорит здесь. Он утверждает, что родовой элемент$\bigoplus_i \mathcal H_i$, завершение$V$относительно внутреннего продукта$\langle \cdot | \cdot \rangle$, любая последовательность$\Psi = (\Psi_1, \Psi_2, \ldots)$так что$\sum\limits_i \left\| \Psi_i \right\|_i^2 < \infty$с.$\Psi$здесь нет, в общем-то, элемента$V$, а его пополнение как гильбертово пространство.

Примечание: если какая-либо часть из нижеследующего смущает вас, не будет серьезной ошибкой подумать об определении$\bigoplus_i \mathcal H_i$счетная прямая сумма гильбертовых пространств как подпространство$\times_i \mathcal H_i$состоящий из всех этих векторов$\Psi$в последнем, которые удовлетворяют$\sum\limits_i \left\| \Psi_i \right\|_i^2 < \infty$. Вот как это определяется в некоторых текстах и ​​Википедии здесь . В Вики есть и это определение, и определение Вальда здесь , где отмечается, что они эквивалентны без доказательств. Полное доказательство того, что это гильбертово пространство, находится на этой странице ProofWiki , хотя часть его по существу дублируется ниже. Важно то, что мы хотим, чтобы скалярный продукт был конечным и полным, так что мы получаем на самом деле гильбертово пространство, и это условие обеспечивает его.

---

Я построю завершение$V$в этой секции. Если вы уже понимаете это или отказываетесь от понимания, не стесняйтесь перейти к следующему разделу, где я перейду к вашему актуальному вопросу. На мой взгляд, это самая сложная часть ответа, и именно здесь вам действительно нужно знать немного реального анализа. Однако здесь нет никакой физики, поэтому мы немного опустим технические подробности.

Мы хотим завершить$V$относительно внутреннего продукта$\langle \cdot | \cdot \rangle$, а точнее, в отношении метрики на$V$определяется внутренним продуктом, который определяется выражением$d(\Psi, \Psi') = \| \Psi - \Psi' \|= \sqrt{\langle \Psi - \Psi' | \Psi - \Psi' \rangle}$. Нам нужно сделать это, потому что нам все еще нужно гильбертово пространство, а гильбертовы пространства имеют полные скалярные произведения. В конечных измерениях любой внутренний продукт полон, но в бесконечных измерениях это неверно. Существуют последовательности Коши, которые, как мы надеемся, сойдутся, но на самом деле это не так. Например, на мгновение давайте$\mathcal H_i = \mathbb C$для каждого$i$. Тогда вектор$(1,1/2,1/3,1/4, \ldots)$не в$V$так как он имеет бесконечно много ненулевых элементов. Однако мы можем написать последовательность элементов$V$которые «должны» сходиться к этому вектору.$(1, 0, 0, 0 \ldots), (1, 1/2, 0, 0, \ldots), (1, 1/2, 1/3, 0, 0, \ldots), \ldots$. Это последовательность Коши, но она не сходится в$V$. Итак, нам нужно добавить материал в$V$чтобы эта последовательность (и другие подобные ей) сходились, так что мы получаем гильбертово пространство.

Завершение$V$следует точно таким же шагам, как и пополнение любого метрического пространства в терминах классов эквивалентности последовательностей Коши. Наиболее знакомым случаем этого является, вероятно, построение действительных чисел из рациональных чисел, что также является наиболее патологическим случаем, поскольку обычно нам нужно ссылаться на полноту действительных чисел, что невозможно при построении действительных чисел. номера в первый раз. Однако в данном случае такой сложности нет. Википедия достаточно хорошо это описывает.

В любом случае, я думаю, что наиболее поучительным для частного случая гильбертовых пространств (а также наименее очевидным) будет выяснить, почему пополнение$V$можно рассматривать как подпространство$\times_i {\cal H}_i$. Вектор в завершении$V$является классом эквивалентности последовательностей Коши. Давайте выберем конкретную репрезентативную последовательность для этого класса. Чтобы избежать перегрузки системы обозначений, я напишу эту последовательность Коши в$V$как$\Psi^1, \Psi^2, \Psi^3, \ldots$. Каждый элемент$\Psi^j$этой последовательности является элементом$V$, так что это последовательность вида$(\Psi^j_1, \Psi^j_2, \ldots)$, из которых только конечное число членов отличны от нуля. Последовательность Коши, поэтому для каждого$\epsilon > 0$, есть некоторая$N$так что при любом выборе$j,k > N$,$\| \Psi^j - \Psi^k \| < \epsilon$. В частности, это означает, что для каждого выбора$i$,$\| \Psi^j_i - \Psi^k_i \| < \epsilon$, поэтому для каждого$i$, последовательность$(\Psi_i^1, \Psi_i^2, \ldots)$является последовательностью Коши в$\mathcal H_i$.

Сейчас,$\mathcal H_i$по условию является гильбертовым пространством. Это означает, что эта последовательность Коши$(\Psi_i^1, \Psi_i^2, \ldots)$сходится к чему-то в$\mathcal H_i$. Давайте назовем это как-нибудь$\Psi_i$. Мы делаем это для каждого$i$. Давайте поместим все это$\Psi_i$в вектор$\Psi = (\Psi_1, \Psi_2, \ldots)$, о котором можно с полным основанием сказать, что он живет в$\times_i {\cal H}_i$в данный момент. Учитывая, что последовательность Коши$\Psi^1, \Psi^2, \ldots$предполагается сходящимся в завершение$V$, а по компонентам сходится к$(\Psi_1, \Psi_2, \ldots) = \Psi$, мы можем естественным образом отождествить эту последовательность Коши с вектором$\Psi$, которая является функцией из множества последовательностей Коши в$V$к$\times_i {\cal H}_i$.

Есть некоторые вещи, которые нужно проверить. Все они важны для строгих математических расчетов, но для целей физики вы можете сделать вывод, что они не так важны. Вся интуиция заключена в вышеупомянутой работе; это просто дополнительная работа, чтобы убедиться, что то, что мы делаем, имеет смысл, хотя это также достойный способ проверить и убедиться, что вы понимаете, что происходит. Нам нужно проверить, что две последовательности Коши в одном и том же классе эквивалентности отправляются в один и тот же$\Psi$. Это гарантирует, что функция может рассматриваться как одна с момента завершения$V$к$\times_i {\cal H}_i$(или что он влияет на завершение$V$в более математической терминологии). Нам также нужно проверить, что это линейная карта. В-третьих, нам нужно проверить, что элемент$V$рассматриваемая как постоянная последовательность Коши, возвращается к тому же элементу$V$, так что естественное вложение$V$в завершении$V$И в$\times_i {\cal H}_i$совместимы. И нам нужно показать, что ядро ​​этого линейного отображения тривиально, так что никакие два различных вектора в пополнении$V$сопоставляются с одним и тем же в$\times_i {\cal H}_i$.

Сделав все это, имеет смысл определить завершение$V$с подмножеством$\times_i {\cal H}_i$как векторное пространство, поскольку у нас есть изоморфизм векторного пространства между ними, который совместим с копией$V$что они оба содержат. Итак, теперь мы можем сказать, что завершение$V$является (по существу) подпространством$\times_i {\cal H}_i$. Там больше структуры по завершению$V$, а именно, что это гильбертово пространство, поэтому у него есть внутренний продукт. Последняя математическая вещь, которую нужно проверить, состоит в том, что внутренний продукт имеет красивую форму после завершения$V$в$\times_i {\cal H}_i$. На самом деле, это просто$\langle \Psi | \Psi' \rangle = \displaystyle \sum_{i=1}^\infty \langle \Psi_i | \Psi'_i \rangle_i$, где бесконечная сумма комплексных чисел интерпретируется обычным образом как предел частичных сумм. Эта сумма гарантированно сходится (абсолютно) к некоторому конечному значению для любой пары$\Psi, \Psi'$которые мы выбираем, пока они оба лежат в завершении$V$в$\times_i {\cal H}_i$.

Со всем этим давайте вернемся к тому, чтобы называть это$\bigoplus_i \mathcal H_i$, а не завершение$V$. В конце концов, это то, о чем мы говорим, но я до сих пор избегал этого языка, так как мы еще не знали точно, что он означает.

---

Теперь, когда это не так, не так сложно понять, почему$\Psi = (\Psi_1, \Psi_2, \ldots)$удовлетворяющий$\sum\limits_i \left\| \Psi_i \right\|_i^2 < \infty$является необходимым и достаточным условием для$\Psi$Быть в$\bigoplus_i \mathcal H_i$. Это необходимо, потому что для$\Psi \in \bigoplus_i \mathcal H_i$, нам нужно$\langle \Psi | \Psi \rangle = \displaystyle \sum_{i=1}^\infty \| \Psi_i \|^2$быть определены, поэтому$\displaystyle \sum_{i=1}^\infty \| \Psi_i \|^2 < \infty$требуется.

Для достаточности мы хотим построить последовательность Коши в$V$сходящийся к$\Psi$в$\bigoplus_i \mathcal H_i$(завершение$V$), чтобы показать, что каждый элемент, удовлетворяющий этому неравенству, должен находиться в$\bigoplus_i \mathcal H_i$. Это довольно легко. Позволять$\Psi^1 = (\Psi_1, 0, 0, 0 \ldots), \Psi^2 = (\Psi_1, \Psi_2, 0, 0, \ldots), \Psi_3=(\Psi_1,\Psi_2,\Psi_3,0,\ldots)$и так далее. Обратите внимание, что все эти$\Psi^j$находятся в$V$так как у каждого есть только$j$ненулевые элементы. Пока последовательность Коши, она явно сходится к$\Psi$. Заявление о том, что$\Psi^1, \Psi^2, \ldots$это Коши это как раз то, что для любого$\epsilon > 0$, есть какой-то индекс$N$такое, что для каждого выбора$j,k > N$,$\| \Psi^j - \Psi^k \|^2 < \epsilon^2$(Для удобства я возвел обе стороны в квадрат). Без ограничения общности можно принять$j > k$, и в этом случае это утверждение упрощается до$\| \Psi_{k+1} \|_{k+1}^2 + \cdots + \| \Psi_{j} \|_{j}^2 > \epsilon^2$. Теперь левая часть всегда меньше бесконечной суммы в пределе$j \rightarrow \infty$и где$k = N$, поэтому мы хотим найти$N$так что$\displaystyle \sum_{l=N}^\infty |\Psi|_l^2 < \epsilon^2$. С$\epsilon$был положительным, так что$\epsilon^2$. Это общая теорема продвинутого исчисления: если ряд неотрицательных членов удовлетворяет$\sum_{l=1}^\infty a_l < \infty$, то для любой положительной константы (которую мы будем считать равной$\epsilon^2$здесь) существует некоторый хвост последовательности, сумма которого меньше этой константы, т. е. существует$N$так что$\displaystyle \sum_{l=N}^\infty a_l < \epsilon^2$. Применяя это здесь с$a_l = \| \Psi_l \|^2_l$, мы видим, что мы получили такой$N$, так что это последовательность Коши и$\Psi$в$\bigoplus_i \mathcal H_i$и жизнь хороша.

---

Вам может быть интересно, почему мне потребовалось много абзацев, чтобы объяснить, что делает Уолд, в одном коротком абзаце. Причина (я полагаю) в том, что Уолд неявно предполагает, что для некоторых читателей это будет знакомо по функциональному анализу, и в любом случае это недостаточно важно, чтобы посвятить этому раздел, поскольку оно не имеет большого физического значения.

3. Как это определение прямой суммы согласуется с обычными вещами, которые мы видим, глядя на тензоры в общей теории относительности или в представлениях алгебр Ли и т. д.?

Вообще не совпадает. Прямые суммы вообще не связаны с тензорными произведениями. Они гораздо более тесно связаны с прямыми продуктами. На самом деле они одинаковы, когда продукт работает над конечным набором индексов, но для бесконечных наборов индексов нам нужно начать менять местами. Бесконечные тензорные произведения в гильбертовых пространствах имеют тенденцию быть еще более уродливыми вещами, которых, к счастью, мы обычно можем избежать.

Вероятно, у вас есть опыт работы с прямыми суммами/произведениями по конечным наборам индексов (где они одинаковы). Например, в E&M и GR и других курсах* вы узнаете, что общий тензор ранга 2 можно разложить на скалярную часть, представляющую трассу, антисимметричную часть и симметричную бесследовую часть. В 4-х измерениях это разложение 16-мерного векторного пространства на прямую сумму (или произведение) 1-мерного пространства, 6-мерного пространства и 9-мерного пространства. Конструкция Вальда объединяет бесконечное количество пространств, поэтому она сложнее.

Другой элементарный пример этого — когда мы изучаем сложение углового момента. Это случай конечных прямых сумм гильбертовых пространств, именно то, что мы ищем. Вы, наверное, помните, что, например, тензорное произведение системы со спином 2 на систему со спином 1 можно разложить на части со спином 3, со спином 2 и со спином 1 с помощью коэффициентов Клебша-Гордона. . Если$\bar n$обозначает гильбертово пространство для системы со спином n, это просто утверждение, что$\bar 2 \otimes \bar 3 = \bar 1 \oplus \bar 2 \oplus \bar 3$. Это конечная прямая сумма, но вы можете себе представить, что для бесконечного числа частиц вы могли бы получить бесконечную прямую сумму. Это «бесконечное число частиц» не является физическим (хотя у нас есть много моделей, таких как модель Изинга, которые аппроксимируют конечные системы, например, в конденсированной материи, бесконечными), но оно становится физическим, когда вы начинаете думать о «частицах». как локализованные возбуждения, которые могут находиться в любой точке пространства. Вероятно, поэтому это всплывает в книге Уолда, хотя я на самом деле не знаю, так как не читал ее.

Конструкция прямого произведения также распространена при изучении алгебр Ли, о которой вы спрашивали. Прямое произведение алгебр Ли$\mathfrak g$и$\mathfrak h$это просто их прямое произведение как векторных пространств, где мы накладываем, что элементы$\mathfrak g$ездить с теми, кто$\mathfrak h$. так это пары$(x,y) \in \mathfrak g \times \mathfrak h$с$[(x_1,y_1),(x_2,y_2)] = ([x_1,x_2],[y_1,y_2])$. Вы можете расширить этот продукт до бесконечного множества факторов.$\mathfrak g_i$если бы ты действительно хотел. Если бы у вас была структура гильбертова пространства на каждом$\mathfrak g_i$, вы также можете определить их прямую сумму \bigoplus_i \mathfrak g_i$, как указано выше, которая наследует как структуру гильбертова пространства, так и структуру алгебры Ли, но это будет не то, что мы обычно имеем в виду, когда говорим о бесконечных прямых суммах алгебр Ли (см. следующий абзац). Такая конструкция не имеет отношения к какой-либо физике, о которой я могу думать в данный момент.

Одна из трудностей в поиске простого аналога состоит в том, что это должны быть гильбертовы пространства. Прямая сумма в категории гильбертовых пространств совершенно иная, чем в категории векторных пространств. Как векторные пространства (забывая о структуре гильбертова пространства),$\bigoplus_i \mathcal H_i = V$, а не завершение$V$. Все в № 2 об аналитических вещах просто перестает быть актуальным. Так что весьма вероятно, что бесконечные прямые суммы гильбертовых пространств вам раньше не понадобились, потому что в КТП на плоском пространстве-времени, как и в обычной КМ, их почти всегда можно избежать.

---

Я бы тоже не советовал заморачиваться по этому поводу. В физике мы обычно стараемся, чтобы наши прямые суммы были конечными. Когда они достигают бесконечности, мы склонны игнорировать аналитические трудности, насколько это возможно, и оставляем полностью строгий анализ на усмотрение математиков. Я подозреваю, что есть много практикующих физиков-теоретиков, которые не могли бы дать вам строгого определения бесконечной прямой суммы, не взглянув сначала на что-нибудь. Не то чтобы это было особенно сложно, но тонкие различия между бесконечными суммами и произведениями гильбертовых пространств просто не имеют большого значения для практической теоретической физики. Много вычислений будет сделано в$V$или в$\times_i \mathcal H_i$а не в$\bigoplus_i \mathcal H_i$. Обычно они оказываются правильными, за исключением редких случаев, когда ответы явно бессмысленны. Следует подчеркнуть, что построение прямой суммы является буквально единственным возможным разумным выбором для прямой суммы гильбертовых пространств, поэтому, если вы беспокоитесь, что аналитические различия приведут к некоторым физически значимым проблемам в зависимости от того, выбрали ли вы тот или иной способ определения того или иного, в каком-то философском смысле, который не может произойти, если предположить, что то, что вы делаете, вообще последовательно.

Это не значит, что я думаю, что вы должны игнорировать это, но пусть это не сбивает вас с толку. Когда вы видите бесконечную прямую сумму гильбертовых пространств, думайте о ней как о бесконечной версии конечной прямой суммы до тех пор, пока вы абсолютно не сможете себе этого позволить. Чтобы заниматься строгой математической физикой, вам понадобится различие, но для большей части теоретической физики вам не нужно быть слишком осторожным. Вальд довольно математический, что не обязательно плохо, но не следует путать математику с физикой, и здесь нет физического содержания.

_{*На самом деле, кое-что из сказанного выше о тензорах в ОТО, Э&М и т. д. является удобной ложью. На самом деле нас обычно интересуют тензорные поля (которые физики обычно называют просто тензорами), которые представляют собой (обычно гладкие) сечения некоторого расслоения на пространственно-временном многообразии. Таким образом, сами тензорные поля являются элементами бесконечномерных векторных пространств. Обычно мы используем какой-то принцип локальности, чтобы иметь дело только с тензорами в точке, которые затем образуют конечномерное пространство. Пространство секций не является прямой суммой отдельных пространств, но это еще один способ их объединения, который по своей природе является своего рода интуитивно аддитивным. Однако это не гильбертово пространство, даже если каждое из отдельных пространств является гильбертовым пространством. Только если вы предполагаете, что пространственно-временное многообразие компактно, или наложить некоторые аналитические условия на виды сечений, которые мы допускаем, можете ли вы получить конечнозначную норму, интегрируя скалярные произведения по всему многообразию. Это альтернативный подход к созданию глобальных конструкций, чем тот, что описан выше, больше похожий на классическую теорию поля.}

Элемент прямой суммы$H_1\oplus H_2\oplus ...$представляет собой последовательность

$$\Psi = \{\Psi_1, \Psi_2,...\}$$ состоящая из элемента из $H_1$, и элемент из $H_2$... и т. д. (исчисляемое). Это должно обладать тем особым свойством, что сумма $$\left\| \Psi_1\right\|^2+\left\| \Psi_2\right\|^2+...$$ сходится. Эта сходимость является частью определения прямой суммы.

Чтобы показать, что прямая сумма является гильбертовым пространством, мне нужна четко определенная операция сложения. Если у меня есть пара таких вещей:

$$\Psi = \{\Psi_1, \Psi_2,...\}$$ $$\Phi = \{\Phi_1, \Phi_2,...\}$$ Я могу определить их сумму как последовательность $$\Phi+\Psi = \{\Phi_1+\Psi_1, \Phi_2+\Psi_2,...\}$$ Нам нужно это проверить $$\left\| \Psi_1+\Phi_1 \right\|^2+\left\| \Psi_2+\Phi_2 \right\|^2+...$$ сходится. Для этого воспользуемся тем, что отдельные термы удовлетворяют $$\left\| \Psi_i+\Phi_i \right\|^2$$ $$=\left\| \Psi_i\right\|^2+\left\| \Phi_i\right\|^2+(\Psi_i,\Phi_i)+(\Phi_i,\Psi_i)$$ $$\leq \left\| \Psi_i\right\|^2+\left\| \Phi_i\right\|^2+2\left\| \Psi_i\right\|\left\| \Phi_i\right\|$$ $$\leq 2\left\| \Psi_i\right\|^2+2\left\| \Phi_i\right\|^2$$ Таким образом, сходимость следует из свойств сходимости суммируемых пространств. Итак, это показывает, как мы можем складывать элементы прямой суммы. Скалярные произведения следуют таким же образом.

Чтобы определить внутренний продукт, мы просто добавляем компонент внутреннего продукта, т.е.

$$(\Psi, \Phi) = (\Psi_1,\Phi_1)+(\Psi_2,\Phi_2)+... \ \ \ (1)$$ Чтобы показать, что RHS сходится, обратите внимание $$|(\Psi_i, \Phi_i)| \leq \left\| \Psi_i \right\| \left\| \Phi_i \right\|$$ Но $$2\left\| \Psi_i \right\| \left\| \Phi_i \right\| \leq \left\| \Psi_i \right\|^2+ \left\| \Phi_i \right\|^2$$ поэтому правая часть (1) сходится абсолютно, и мы закончили — у нас есть четко определенное внутреннее пространство продукта.

Подсказки:

1. Пусть элементы${\Large \times}_{\alpha\in A} {\cal H}_{\alpha}$называться

   $$\tag{1} \Psi~:=~ (\Psi_{\alpha})_{\alpha\in A},$$ и так далее.

2. Следующий ход${\Large \times}_{\alpha\in A} {\cal H}_{\alpha}$в нормированное пространство а-ля Пифагор:

   $$\tag{2}|| \Psi ||~:=~\sqrt{ \sum_{\alpha\in A} ||\Psi_{\alpha} ||_{\alpha}^2 }$$ (с возможными бесконечными векторами норм).

3. Затем определим пространство прямой суммы

   $$\tag{3}\bigoplus_{\alpha\in A} {\cal H}_{\alpha} ~:=~ \{\Psi\in {\Large \times}_{\alpha\in A} {\cal H}_{\alpha} \mid || \Psi ||< \infty \} .$$

4. Сделайте вывод, что$\bigoplus_{\alpha\in A} {\cal H}_{\alpha}$становится векторным пространством при назначениях

   $$\tag{4} \lambda \Psi~:=~(\lambda\Psi_{\alpha})_{\alpha\in A},$$ $$\tag{5} \Psi+\Phi~:=~(\Psi_{\alpha}+\Phi_{\alpha})_{\alpha\in A}.$$

5. Позволять$\Psi, \Phi\in \bigoplus_{\alpha\in A} {\cal H}_{\alpha}$.

6. Выведите из неравенства Коши-Шварца, что

   $$\tag{6} \sum_{\alpha\in A}||\Psi_{\alpha} ||_{\alpha}||\Phi_{\alpha} ||_{\alpha} <\infty.$$

7. Определить внутренний продукт

   $$\tag{7} \langle \Psi| \Phi \rangle~:=~ \sum_{\alpha\in A}\langle \Psi_{\alpha}| \Phi_{\alpha} \rangle_{\alpha}.$$ Оно корректно определено, так как сумма в правой части абсолютно сходится, ср. экв. (6).

8. Более того, приступайте к показу полуторной линейности, полноты и т. д.

9. Наконец, отметим, что если для всех$\alpha\in A$:$\{e_{i\alpha} | i\in I_{\alpha} \}$является основой для${\cal H}_{\alpha}$, затем$\{e_{i\alpha} | i\in I_{\alpha},\alpha\in A \}$является основой для$\bigoplus_{\alpha\in A} {\cal H}_{\alpha}$.